Постройте график функции y = |x|·(x + 2) − 3x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль по определению:

при \(x<0\): \(|x|=-x\), поэтому
\[y=-x(x+2)-3x=-x^2-5x;\]

при \(x\geqslant0\): \(|x|=x\), поэтому
\[y=x(x+2)-3x=x^2-x.\]

Следовательно, график состоит из двух частей парабол:

• \(y=-x^2-5x\) при \(x<0\); её вершина \(\left(-\frac52,\frac{25}{4}\right)\);
• \(y=x^2-x\) при \(x\geqslant0\); её вершина \(\left(\frac12,-\frac14\right)\).

Число общих точек горизонтальной прямой \(y=m\) с графиком определяется по высоте этой прямой.

• При \(m=-\frac14\) прямая касается правой части параболы в её вершине и пересекает левую часть в одной точке: всего две точки.
• При \(m=\frac{25}{4}\) прямая касается левой части параболы в её вершине и пересекает правую часть в одной точке: всего две точки.

Ответ: \(m=-\frac14\) или \(m=\frac{25}{4}\).