Постройте график функции y = |x² - x - 2|. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Анализ функции:

Для начала, построим график функции \( y = x^2 - x - 2 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем точки пересечения с осью абсцисс (где \( y = 0 \)):

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Корни уравнения:

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Таким образом, \( x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).

Найдем вершину параболы. Координата \( x \) вершины:

\[ x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2(1)} = \frac{1}{2} \]

Значение \( y \) в вершине:

\[ y_в = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1 - 2 - 8}{4} = -\frac{9}{4} = -2.25 \]

Теперь построим график функции \( y = |x^2 - x - 2| \). Для этого часть графика \( y = x^2 - x - 2 \), которая находится ниже оси абсцисс (где \( y < 0 \)), отразим симметрично вверх.

График функции \( y = |x^2 - x - 2| \) будет иметь:

• Две точки пересечения с осью абсцисс: \( x = -1 \) и \( x = 2 \).
• Ветви, направленные вверх.
• Минимум в точке \( (1/2, 9/4) \) (так как \( |-9/4| = 9/4 \)).
• Часть графика, соответствующая \( x ∈ (-1, 2) \), будет отражена вверх.

Взаимодействие с прямой, параллельной оси абсцисс:

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = c \), где \( c \) — константа.

Рассмотрим, сколько точек пересечения может быть у графика \( y = |x^2 - x - 2| \) с прямой \( y = c \):

• Если \( c < 0 \), то прямая не пересекает график (0 точек).
• Если \( c = 0 \), то прямая совпадает с осью абсцисс, пересекая график в двух точках \( x = -1 \) и \( x = 2 \) (2 точки).
• Если \( 0 < c < 9/4 \), то прямая пересекает каждую из двух ветвей параболы (отраженной части) по одному разу. Кроме того, она пересекает и части исходной параболы, лежащие выше оси X. Таким образом, всего 4 точки пересечения.
• Если \( c = 9/4 \), то прямая проходит через вершину графика (отраженную). Она пересекает одну из ветвей параболы в одной точке, а другую ветвь (которая является частью исходной параболы) — в двух точках. Итого 3 точки пересечения.
• Если \( c > 9/4 \), то прямая пересекает каждую из двух ветвей графика по одному разу. Итого 2 точки пересечения.

Вывод:

Наибольшее число общих точек, которое может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 4.

Ответ: 4