Постройте график функции y=((x^2+4)(x-1))/(1-x). Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Привет! Разбираемся с функцией и прямой. Логика такая:

• Упростим функцию
• Найдем, при каких k прямая y=kx пересекает график в одной точке.

Упрощаем функцию

Смотри, тут всё просто:

\[y = \frac{(x^2 + 4)(x - 1)}{1 - x} = \frac{(x^2 + 4)(x - 1)}{-(x - 1)}\]

Сокращаем (x - 1) в числителе и знаменателе (но помним, что x ≠ 1):

\[y = -(x^2 + 4) = -x^2 - 4, \quad x
eq 1\]

Получается парабола с вершиной в точке (0, -4), направленная вниз. Но есть одна особенность: в точке x = 1 на графике будет «дырка».

Ищем k

Теперь найдем, при каких k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку. Подставим y = kx в уравнение параболы:

\[kx = -x^2 - 4\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 + kx + 4 = 0\]

Чтобы прямая имела с параболой ровно одну общую точку, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:

\[D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16 = 0\]

Решаем уравнение:

\[k^2 = 16\]\[k = \pm 4\]

Получается два значения: k = 4 и k = -4.

Но! Нужно учесть «дырку» в точке x = 1. Найдем y в этой точке на параболе:

\[y = -1^2 - 4 = -5\]

Тогда k для прямой, проходящей через эту точку:

\[k = \frac{y}{x} = \frac{-5}{1} = -5\]

Значит, k = -5 — еще одно значение, при котором прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку (а именно, в точке x = 1).

Ответ: k = 4, k = -4, k = -5