Постройте график функции 2x — 2, если x < 3; y= -3х + 13, если 3 ≤ x ≤ 4; 1,5х – 7, если x > 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком общие точки.

Решение:

Заданная функция является кусочно-линейной. Построим график, рассмотрев каждую ветвь отдельно.

1. Первая ветвь: \( y = 2x - 2 \) при \( x < 3 \). Это прямая. Найдем значения в граничной точке \( x = 3 \) и еще одной точке, например \( x = 0 \).
   При \( x = 3 \): \( y = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4 \). Точка (3, 4) — выколотая.
   При \( x = 0 \): \( y = 2(0) - 2 = -2 \). Точка (0, -2).
2. Вторая ветвь: \( y = -3x + 13 \) при \( 3 \le x \le 4 \). Это отрезок прямой. Найдем значения в граничных точках \( x = 3 \) и \( x = 4 \).
   При \( x = 3 \): \( y = -3(3) + 13 = -9 + 13 = 4 \). Точка (3, 4) — закрашенная.
   При \( x = 4 \): \( y = -3(4) + 13 = -12 + 13 = 1 \). Точка (4, 1) — закрашенная.
3. Третья ветвь: \( y = 1.5x - 7 \) при \( x > 4 \). Это луч. Найдем значение в граничной точке \( x = 4 \).
   При \( x = 4 \): \( y = 1.5(4) - 7 = 6 - 7 = -1 \). Точка (4, -1) — выколотая.

Теперь построим график по найденным точкам. Первая ветвь — луч, исходящий из точки (0, -2) и идущий в сторону точки (3, 4) (не включая ее). Вторая ветвь — отрезок, соединяющий точки (3, 4) и (4, 1). Третья ветвь — луч, исходящий из точки (4, -1) (не включая ее) и идущий вправо.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Чтобы она имела общие точки с графиком функции, она должна пересекать либо первую ветвь, либо вторую, либо третью.

Рассмотрим диапазоны значений y для каждой ветви:

• Первая ветвь: \( y = 2x - 2 \) при \( x < 3 \). Значения \( y \) стремятся к \( 4 \) (не включая его), т.е. \( y < 4 \).
• Вторая ветвь: \( y = -3x + 13 \) при \( 3 \le x \le 4 \). Значения \( y \) находятся в диапазоне от \( 1 \) до \( 4 \) (включая обе границы): \( 1 \le y \le 4 \).
• Третья ветвь: \( y = 1.5x - 7 \) при \( x > 4 \). Значения \( y \) начинаются от \( -1 \) (не включая его) и возрастают: \( y > -1 \).

Объединяя эти диапазоны, получаем, что функция принимает значения от \( y = -1 \) (не включая) до \( y = 4 \) (включая). То есть, \( y \in (-1; 4] \).

Прямая \( y = m \) будет иметь общие точки с графиком, если \( m \) находится в этом диапазоне.

Ответ: m ∈ (-1; 4].