4. Постройте график функции: a) y=x²-8x+12; 6) y=2x²-7x+5; в) у=-3x²+6x+9; г) у=-0,5х²-2x-2; д) у = 2x²-8х+8; e) y=-3x²-6x-3; ж) у=-2x²-6x-5; з) у = 4x²-x+1. В каждом случае укажите значения х, при которых функция: 1) убывает; 2) возрастает; 3) принимает зна- чения, равные 0; большие 0; меньшие 0 (по графику).

Для решения данной задачи необходимо построить графики каждой из предложенных функций и проанализировать их поведение. Рассмотрим каждую функцию отдельно.

1. а) $$y=x^2-8x+12$$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.

• Координаты вершины параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$$, $$y_v = 4^2 - 8 \cdot 4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4$$. Вершина параболы в точке (4, -4).
• Функция убывает при $$x < 4$$ и возрастает при $$x > 4$$.
• Найдем нули функции: $$x^2 - 8x + 12 = 0$$. По теореме Виета $$x_1 + x_2 = 8$$, $$x_1 \cdot x_2 = 12$$, откуда $$x_1 = 2$$, $$x_2 = 6$$. Функция равна 0 при $$x = 2$$ и $$x = 6$$.
• Функция больше 0 при $$x < 2$$ и $$x > 6$$.
• Функция меньше 0 при $$2 < x < 6$$.

2. б) $$y=2x^2-7x+5$$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх.

• Координаты вершины параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1.75$$, $$y_v = 2 \cdot (1.75)^2 - 7 \cdot 1.75 + 5 = 6.125 - 12.25 + 5 = -1.125$$. Вершина параболы в точке (1.75, -1.125).
• Функция убывает при $$x < 1.75$$ и возрастает при $$x > 1.75$$.
• Найдем нули функции: $$2x^2 - 7x + 5 = 0$$. Дискриминант $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$$. $$x_1 = \frac{7 - 3}{4} = 1$$, $$x_2 = \frac{7 + 3}{4} = 2.5$$. Функция равна 0 при $$x = 1$$ и $$x = 2.5$$.
• Функция больше 0 при $$x < 1$$ и $$x > 2.5$$.
• Функция меньше 0 при $$1 < x < 2.5$$.

3. в) $$y=-3x^2+6x+9$$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный.

• Координаты вершины параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = 1$$, $$y_v = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 9 = -3 + 6 + 9 = 12$$. Вершина параболы в точке (1, 12).
• Функция возрастает при $$x < 1$$ и убывает при $$x > 1$$.
• Найдем нули функции: $$-3x^2 + 6x + 9 = 0$$. Разделим на -3: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$. По теореме Виета $$x_1 + x_2 = 2$$, $$x_1 \cdot x_2 = -3$$, откуда $$x_1 = -1$$, $$x_2 = 3$$. Функция равна 0 при $$x = -1$$ и $$x = 3$$.
• Функция больше 0 при $$-1 < x < 3$$.
• Функция меньше 0 при $$x < -1$$ и $$x > 3$$.

4. г) $$y=-0.5x^2-2x-2$$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вниз.

• Координаты вершины параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-0.5)} = -2$$, $$y_v = -0.5 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 2 = -2 + 4 - 2 = 0$$. Вершина параболы в точке (-2, 0).
• Функция возрастает при $$x < -2$$ и убывает при $$x > -2$$.
• Функция равна 0 при $$x = -2$$.
• Функция меньше 0 при $$x
  e -2$$.

5. д) $$y=2x^2-8x+8$$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх.

• Координаты вершины параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2$$, $$y_v = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 8 = 8 - 16 + 8 = 0$$. Вершина параболы в точке (2, 0).
• Функция убывает при $$x < 2$$ и возрастает при $$x > 2$$.
• Функция равна 0 при $$x = 2$$.
• Функция больше 0 при $$x
  e 2$$.

6. е) $$y=-3x^2-6x-3$$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вниз.

• Координаты вершины параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -1$$, $$y_v = -3 \cdot (-1)^2 - 6 \cdot (-1) - 3 = -3 + 6 - 3 = 0$$. Вершина параболы в точке (-1, 0).
• Функция возрастает при $$x < -1$$ и убывает при $$x > -1$$.
• Функция равна 0 при $$x = -1$$.
• Функция меньше 0 при $$x
  e -1$$.

7. ж) $$y=-2x^2-6x-5$$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вниз.

• Координаты вершины параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-2)} = -\frac{3}{2} = -1.5$$, $$y_v = -2 \cdot (-1.5)^2 - 6 \cdot (-1.5) - 5 = -4.5 + 9 - 5 = -0.5$$. Вершина параболы в точке (-1.5, -0.5).
• Функция возрастает при $$x < -1.5$$ и убывает при $$x > -1.5$$.
• Найдем нули функции: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5) = 36 - 40 = -4$$. Уравнение не имеет корней.
• Функция меньше 0 при всех $$x$$.

8. з) $$y=4x^2-x+1$$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх.

• Координаты вершины параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} = 0.125$$, $$y_v = 4 \cdot (0.125)^2 - 0.125 + 1 = 0.0625 - 0.125 + 1 = 0.9375$$. Вершина параболы в точке (0.125, 0.9375).
• Функция убывает при $$x < 0.125$$ и возрастает при $$x > 0.125$$.
• Найдем нули функции: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$$. Уравнение не имеет корней.
• Функция больше 0 при всех $$x$$.

Ответ: Решение приведено выше.