4. Постройте график функции: a) y=x²-8x+12; б) y=2x²-7x+5; в) у=-3x²+6x+9; г) у=-0,5х²-2x-2; д) у=2х²-8x+8; e) y=-3x²-6x-3; ж) у=-2x²-6x-5; з) y=4x²-x+1. В каждом случае укажите значения х, при которых функция: 1) убывает; 2) возрастает; 3) принимает зна- чения, равные 0; большие 0; меньшие 0 (по графику).

a) $$y = x^2 - 8x + 12$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{2} = 4$$. Тогда $$y_v = 4^2 - 8\cdot 4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4$$.

1) Функция убывает при $$x \in (-\infty, 4)$$.

2) Функция возрастает при $$x \in (4, +\infty)$$.

3) Найдем нули функции: $$x^2 - 8x + 12 = 0$$. Дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4\cdot 1\cdot 12 = 64 - 48 = 16$$. Корни: $$x_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6$$, $$x_2 = \frac{8 - 4}{2} = 2$$.

$$y = 0$$ при $$x = 2$$ и $$x = 6$$.

$$y > 0$$ при $$x \in (-\infty, 2) \cup (6, +\infty)$$.

$$y < 0$$ при $$x \in (2, 6)$$.

б) $$y = 2x^2 - 7x + 5$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{7}{4} = 1.75$$. $$y_v = 2\cdot (1.75)^2 - 7 \cdot 1.75 + 5 = 6.125 - 12.25 + 5 = -1.125$$.

1) Функция убывает при $$x \in (-\infty, 1.75)$$.

2) Функция возрастает при $$x \in (1.75, +\infty)$$.

3) Найдем нули функции: $$2x^2 - 7x + 5 = 0$$. Дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4\cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$$. Корни: $$x_1 = \frac{7 + 3}{4} = 2.5$$, $$x_2 = \frac{7 - 3}{4} = 1$$.

$$y = 0$$ при $$x = 1$$ и $$x = 2.5$$.

$$y > 0$$ при $$x \in (-\infty, 1) \cup (2.5, +\infty)$$.

$$y < 0$$ при $$x \in (1, 2.5)$$.

в) $$y = -3x^2 + 6x + 9$$

Это парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{-6} = 1$$. $$y_v = -3\cdot 1^2 + 6\cdot 1 + 9 = -3 + 6 + 9 = 12$$.

1) Функция возрастает при $$x \in (-\infty, 1)$$.

2) Функция убывает при $$x \in (1, +\infty)$$.

3) Найдем нули функции: $$-3x^2 + 6x + 9 = 0$$. Разделим на -3: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$. Корни: $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -1$$.

$$y = 0$$ при $$x = -1$$ и $$x = 3$$.

$$y > 0$$ при $$x \in (-1, 3)$$.

$$y < 0$$ при $$x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$$.

г) $$y = -0.5x^2 - 2x - 2$$

Это парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{-1} = -2$$. $$y_v = -0.5\cdot (-2)^2 - 2\cdot (-2) - 2 = -2 + 4 - 2 = 0$$.

1) Функция возрастает при $$x \in (-\infty, -2)$$.

2) Функция убывает при $$x \in (-2, +\infty)$$.

3) Найдем нули функции: $$-0.5x^2 - 2x - 2 = 0$$. Домножим на -2: $$x^2 + 4x + 4 = 0$$. $$(x + 2)^2 = 0$$. Корень: $$x = -2$$.

$$y = 0$$ при $$x = -2$$.

$$y > 0$$ ни при каких значениях x.

$$y < 0$$ при $$x \in (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$$.

д) $$y = 2x^2 - 8x + 8$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{4} = 2$$. $$y_v = 2\cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 8 = 8 - 16 + 8 = 0$$.

1) Функция убывает при $$x \in (-\infty, 2)$$.

2) Функция возрастает при $$x \in (2, +\infty)$$.

3) Найдем нули функции: $$2x^2 - 8x + 8 = 0$$. Разделим на 2: $$x^2 - 4x + 4 = 0$$. $$(x - 2)^2 = 0$$. Корень: $$x = 2$$.

$$y = 0$$ при $$x = 2$$.

$$y > 0$$ при $$x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$$.

$$y < 0$$ ни при каких значениях x.

e) $$y = -3x^2 - 6x - 3$$

Это парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{-6} = -1$$. $$y_v = -3\cdot (-1)^2 - 6 \cdot (-1) - 3 = -3 + 6 - 3 = 0$$.

1) Функция возрастает при $$x \in (-\infty, -1)$$.

2) Функция убывает при $$x \in (-1, +\infty)$$.

3) Найдем нули функции: $$-3x^2 - 6x - 3 = 0$$. Разделим на -3: $$x^2 + 2x + 1 = 0$$. $$(x + 1)^2 = 0$$. Корень: $$x = -1$$.

$$y = 0$$ при $$x = -1$$.

$$y > 0$$ ни при каких значениях x.

$$y < 0$$ при $$x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$$.

ж) $$y = -2x^2 - 6x - 5$$

Это парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{-4} = -1.5$$. $$y_v = -2\cdot (-1.5)^2 - 6 \cdot (-1.5) - 5 = -4.5 + 9 - 5 = -0.5$$.

1) Функция возрастает при $$x \in (-\infty, -1.5)$$.

2) Функция убывает при $$x \in (-1.5, +\infty)$$.

3) Найдем нули функции: $$-2x^2 - 6x - 5 = 0$$. Дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5) = 36 - 40 = -4$$. Корней нет.

$$y = 0$$ ни при каких значениях x.

$$y > 0$$ ни при каких значениях x.

$$y < 0$$ при $$x \in (-\infty, +\infty)$$.

з) $$y = 4x^2 - x + 1$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{8} = 0.125$$. $$y_v = 4\cdot (0.125)^2 - 0.125 + 1 = 0.0625 - 0.125 + 1 = 0.9375$$.

1) Функция убывает при $$x \in (-\infty, 0.125)$$.

2) Функция возрастает при $$x \in (0.125, +\infty)$$.

3) Найдем нули функции: $$4x^2 - x + 1 = 0$$. Дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4\cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$$. Корней нет.

$$y = 0$$ ни при каких значениях x.

$$y > 0$$ при $$x \in (-\infty, +\infty)$$.

$$y < 0$$ ни при каких значениях x.