Постройте график функции f(x) = { -x² + 4x + 4 при x < -2, 1 при x = -2, -x - 8 при x > -2. При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком функции y = f(x) ровно одну общую точку?

Построение графика функции

Сначала построим график функции, состоящей из трёх частей:

1. Для \( x < -2 \): \( y = -x^2 + 4x + 4 \)

Это парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы. Координата \( x_в \) вершины вычисляется по формуле \( x_в = -b / (2a) \). В данном случае \( a = -1, b = 4 \), поэтому \( x_в = -4 / (2 · -1) = -4 / -2 = 2 \).

Значение \( y \) в вершине: \( y_в = -(2)^2 + 4(2) + 4 = -4 + 8 + 4 = 8 \). Вершина параболы находится в точке (2, 8).

Так как условие \( x < -2 \), вершина параболы (2, 8) не входит в эту часть графика. Найдем значение функции при \( x = -2 \): \( y = -(-2)^2 + 4(-2) + 4 = -4 - 8 + 4 = -8 \).

2. Для \( x = -2 \): \( y = 1 \)

Это точка с координатами (-2, 1).

3. Для \( x > -2 \): \( y = -x - 8 \)

Это прямая линия. Найдем значение функции при \( x = -2 \): \( y = -(-2) - 8 = 2 - 8 = -6 \). Точка (-2, -6) будет началом луча.

Анализ пересечения с прямой \( y = m \)

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта линия пересекает график функции ровно в одной точке.

Рассмотрим значения \( m \) и количество точек пересечения:

• Если \( m > 8 \), линия \( y = m \) не пересекает график (0 точек).
• Если \( m = 8 \), линия \( y = m \) пересекает параболу в одной точке (вершине, но она не включена в часть графика для \( x < -2 \)). Однако, если рассматривать всю параболу \( y = -x^2 + 4x + 4 \) без ограничений на \( x \), то \( y=8 \) является максимумом. Важно, что для \( x < -2 \) максимальное значение функции стремится к -8, но никогда его не достигает.
• Если \( -8 < m < 8 \), линия \( y = m \) пересекает параболу в двух точках (для \( x < -2 \) и \( x > 2 \)).
• Если \( m = -8 \), линия \( y = m \) пересекает график функции в одной точке (на границе параболы при \( x = -2 \), но эта точка не входит в область \( x < -2 \)) и также пересекает прямую \( y = -x - 8 \) при \( -x - 8 = -8 \), что дает \( x = 0 \) (но это для \( x > -2 \)).
• Если \( m = 1 \), линия \( y = m \) проходит через точку (-2, 1), которая является частью графика. Также линия \( y = 1 \) пересечет прямую \( y = -x - 8 \) при \( 1 = -x - 8 \), то есть \( x = -9 \), что меньше -2. Следовательно, при \( m = 1 \) есть две точки пересечения.
• Если \( m = -6 \), линия \( y = m \) проходит через начало луча \( y = -x - 8 \) при \( x = -2 \). Она также пересечет параболу \( y = -x^2 + 4x + 4 \) при \( -x^2 + 4x + 4 = -6 \), т.е. \( -x^2 + 4x + 10 = 0 \), \( x^2 - 4x - 10 = 0 \). Дискриминант \( D = 16 - 4(1)(-10) = 16 + 40 = 56 \). \( x = (4 ± √56) / 2 \). Одна из этих точек будет меньше -2.
• Если \( m < -6 \), линия \( y = m \) пересекает прямую \( y = -x - 8 \) в одной точке (для \( x > -2 \)) и не пересекает параболу.

Чтобы получить ровно одну точку пересечения:

1. Линия \( y=m \) должна совпадать с изолированной точкой графика. Таких точек нет.
2. Линия \( y=m \) должна касаться параболы и пересекать прямую, или наоборот.
3. Линия \( y=m \) должна проходить через одну из граничных точек, но не пересекать другую часть графика.

Рассмотрим более внимательно граничные значения:

• При \( m = 8 \) (максимум параболы, но \( x=2 \) не в области \( x < -2 \)). Значение функции для \( x < -2 \) стремится к -8.
• При \( m = -8 \) (значение параболы при \( x=-2 \), но эта точка не включена в область \( x < -2 \)).
• При \( m = 1 \) (значение функции при \( x=-2 \), эта точка включена). Эта же линия \( y=1 \) пересекает прямую \( y = -x - 8 \) в точке \( x = -9 \) (т.к. \( 1 = -x-8 \) => \( x=-9 \)). Эта точка \( x=-9 \) удовлетворяет условию \( x > -2 \) для второй части функции. Таким образом, при \( m=1 \) у нас две точки пересечения.
• При \( m = -6 \) (начало луча \( y = -x - 8 \) при \( x=-2 \)). Эта линия также пересекает параболу \( y = -x^2 + 4x + 4 \) при \( -x^2 + 4x + 4 = -6 \), что дает \( x^2 - 4x - 10 = 0 \). \( x = (4 ± √(16+40))/2 = (4 ± √56)/2 = 2 ± √14 \). \( 2 + √14 ≈ 2 + 3.74 = 5.74 \) (это > -2, но не в области \( x < -2 \)). \( 2 - √14 ≈ 2 - 3.74 = -1.74 \) (это > -2, не в области \( x < -2 \)).

Давайте пересмотрим значение параболы для \( x < -2 \).

При \( x = -2 \), \( y = -8 \). Если \( m = -8 \), то линия \( y = -8 \) будет пересекать параболу при \( -x^2 + 4x + 4 = -8 \) => \( -x^2 + 4x + 12 = 0 \) => \( x^2 - 4x - 12 = 0 \). \( (x-6)(x+2) = 0 \). Решения: \( x=6 \) и \( x=-2 \). Поскольку мы рассматриваем \( x < -2 \), то \( x=-2 \) не входит. Для \( x < -2 \) у нас нет пересечения с \( y=-8 \).

Теперь рассмотрим прямую \( y = -x - 8 \) для \( x > -2 \).

При \( x = -2 \), \( y = -(-2) - 8 = 2 - 8 = -6 \).

Таким образом:

• Если \( m > 8 \): 0 точек.
• Если \( m = 8 \): 0 точек (вершина не в области \( x < -2 \)).
• Если \( -8 < m < 8 \): 2 точки (пересечение параболы).
• Если \( m = -8 \): 0 точек (точка \( x=-2 \) для параболы не входит в \( x < -2 \)).
• Если \( m = -6 \): Одна точка пересечения с прямой \( y = -x - 8 \) (точка (-2, -6), начало луча). Парабола \( y = -x^2 + 4x + 4 \) при \( m = -6 \) имеет решения \( x = 2 ± √14 \). Оба эти значения \( x \) больше -2. Значит, при \( m=-6 \) есть одно пересечение с прямой \( y=-x-8 \) и два пересечения с параболой. Итого 3 точки.
• Если \( m < -6 \): Одна точка пересечения с прямой \( y = -x - 8 \) (для \( x > -2 \)). Парабола \( y = -x^2 + 4x + 4 \) при \( m < -6 \) также может пересекать график.

Давайте вернемся к условию: ровно одна общая точка.

1. Линия \( y = m \) совпадает с той частью графика, которая состоит из одной точки. Это \( y=1 \) при \( x=-2 \). Но эта линия пересекает и прямую \( y=-x-8 \) при \( x=-9 \), т.е. две точки. Это не подходит.

2. Линия \( y = m \) проходит через точку, которая является