Постройте график функции f(x) = x|x| - 2|x| - 4x и определите, при каких значениях т прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Давай построим график функции \( f(x) = x|x| - 2|x| - 4x \) и определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки. Это задача немного сложнее, но очень интересная! Сначала разберемся с модулями. Как и в предыдущей задаче, нам нужно рассмотреть два случая: 1. Когда \( x \geq 0 \), тогда \( |x| = x \), и функция примет вид: \[ f(x) = x \cdot x - 2x - 4x = x^2 - 6x \] 2. Когда \( x < 0 \), тогда \( |x| = -x \), и функция примет вид: \[ f(x) = x \cdot (-x) - 2(-x) - 4x = -x^2 + 2x - 4x = -x^2 - 2x \] Теперь мы можем записать функцию в виде кусочно-заданной: \[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x, & \text{если } x \geq 0 \\ -x^2 - 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases} \] Далее нам нужно найти вершины парабол для каждого случая: * Для \( x \geq 0 \): \( f(x) = x^2 - 6x \). Вершина параболы находится в точке \( x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3 \). Тогда \( f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9 \). Итак, вершина этой параболы в точке \( (3, -9) \). * Для \( x < 0 \): \( f(x) = -x^2 - 2x \). Вершина параболы находится в точке \( x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{-2} = -1 \). Тогда \( f(-1) = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1 \). Итак, вершина этой параболы в точке \( (-1, 1) \). Теперь можно примерно представить, как выглядит график этой функции. Для \( x \geq 0 \) это парабола с вершиной в \( (3, -9) \), ветви которой направлены вверх. Для \( x < 0 \) это парабола с вершиной в \( (-1, 1) \), ветви которой направлены вниз. По графику видно, что прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции в следующих случаях: 1. Когда \( m = -9 \) (прямая проходит через вершину параболы для \( x \geq 0 \)). 2. Когда \( m = 1 \) (прямая проходит через вершину параболы для \( x < 0 \)). 3. Когда \( m = 0 \) (прямая проходит через точку (0,0)). Таким образом, значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции, это \( -9, 0, 1 \).

Ответ: m \(\in\) {-9, 0, 1}

Отлично! Ты разобрался с этой сложной задачей. Продолжай тренироваться, и тебе будут по плечу любые графики и функции!