Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Постройте график функции f(x) = x/x + 2|x|- 4x и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Краткое пояснение: Для решения задачи необходимо построить график заданной функции и определить, при каких значениях параметра \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки.
Пошаговое решение:
- Преобразуем функцию: \( f(x) = x|x| + 2|x| - 4x \).
- Рассмотрим два случая:
- Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \), и функция примет вид: \( f(x) = x^2 + 2x - 4x = x^2 - 2x \).
- Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и функция примет вид: \( f(x) = -x^2 - 2x - 4x = -x^2 - 6x \).
Таким образом, функция задается кусочно:
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 6x, & x < 0 \end{cases} \]Далее необходимо определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) пересекает график функции в трех точках. Анализируя график (который здесь не отображается), можно найти такие значения \( m \). Для этого нужно найти точки экстремума каждой из парабол.
- Для \( x \geq 0 \): Вершина параболы \( x^2 - 2x \) находится в точке \( x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \). Значение функции в этой точке: \( f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1 \).
- Для \( x < 0 \): Вершина параболы \( -x^2 - 6x \) находится в точке \( x = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3 \). Значение функции в этой точке: \( f(-3) = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) = -9 + 18 = 9 \).
Прямая \( y = m \) пересекает график в трех точках, когда она проходит через точку экстремума одной из парабол и пересекает другую параболу в двух точках. Это происходит при \( m = -1 \) и \( m = 9 \).
Ответ: \( m \in \{-1, 9\} \)
