22 Постройте график функции и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Построим график функции

$$y =\begin{cases} -x^2-2x+1, & \text{если } x \ge -3 \\ -x-5, & \text{если } x < -3 \end{cases}$$

1. Рассмотрим функцию $$y = -x^2-2x+1$$ при $$x \ge -3$$.

Выделим полный квадрат: $$y = -(x^2 + 2x) + 1 = -(x^2 + 2x + 1) + 1 + 1 = -(x+1)^2 + 2$$.

Это парабола с вершиной в точке $$(-1; 2)$$, ветви направлены вниз.

Найдем значение функции при $$x = -3$$: $$y(-3) = -(-3+1)^2 + 2 = -(-2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$$.

2. Рассмотрим функцию $$y = -x - 5$$ при $$x < -3$$.

Это прямая. Найдем значение функции при $$x = -3$$: $$y(-3) = -(-3) - 5 = 3 - 5 = -2$$.

3. Прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину параболы или через точку $$(-3; -2)$$.

В вершине параболы $$y = 2$$, значит, $$m = 2$$.

В точке $$(-3; -2)$$ $$y = -2$$, значит, $$m = -2$$.

Ответ: $$m = 2$$, $$m = -2$$.