Постройте график функции Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика функции

Дана кусочно-заданная функция:

$$ y = \begin{cases} 3x - 3, & \text{если } x < 2 \\ -3x + 8,5, & \text{если } 2 \le x \le 3 \\ 3,5x - 11, & \text{если } x > 3 \end{cases} $$

Первый участок: $$ y = 3x - 3 $$, при $$ x < 2 $$

• Это прямая. Найдем две точки:
  • При $$x=0$$, $$y = 3(0) - 3 = -3$$. Точка (0, -3).
  • При $$x=2$$, $$y = 3(2) - 3 = 3$$. Точка (2, 3). Так как $$x < 2$$, эта точка не включается в график (обозначается пустым кружком).

Второй участок: $$ y = -3x + 8,5 $$, при $$ 2 \le x \le 3 $$

• Это прямая. Найдем две точки:
  • При $$x=2$$, $$y = -3(2) + 8,5 = -6 + 8,5 = 2,5$$. Точка (2, 2.5). Так как $$x \ge 2$$, эта точка включается в график (обозначается закрашенным кружком).
  • При $$x=3$$, $$y = -3(3) + 8,5 = -9 + 8,5 = -0,5$$. Точка (3, -0.5). Так как $$x \le 3$$, эта точка включается в график (обозначается закрашенным кружком).

Третий участок: $$ y = 3,5x - 11 $$, при $$ x > 3 $$

• Это прямая. Найдем две точки:
  • При $$x=3$$, $$y = 3,5(3) - 11 = 10,5 - 11 = -0,5$$. Точка (3, -0.5). Так как $$x > 3$$, эта точка не включается в график (обозначается пустым кружком).
  • При $$x=4$$, $$y = 3,5(4) - 11 = 14 - 11 = 3$$. Точка (4, 3).

Определение значений $$m$$

Прямая $$ y = m $$ — это горизонтальная прямая. Чтобы она имела ровно две общие точки с графиком функции, она должна проходить через:

• Вершины изломов графика, если эти вершины являются локальными минимумами или максимумами.
  • На границе $$x=2$$: Первый участок идет к точке (2, 3) (не включая). Второй участок начинается с точки (2, 2.5) (включая). Значит, в точке $$x=2$$ есть разрыв. Значения $$y$$ для этого участка находятся в диапазоне от 2.5 до -0.5.
  • На границе $$x=3$$: Второй участок заканчивается точкой (3, -0.5) (включая). Третий участок начинается от точки (3, -0.5) (не включая). Эти точки совпадают.
• Рассмотрим значения $$y$$ в «критических» точках:
  • В точке $$x=2$$: значение приближается к 3 (сверху) и начинается с 2.5 (снизу).
  • В точке $$x=3$$: значение заканчивается на -0.5 и начинается с -0.5.

График функции будет иметь вид:

• Лучом от $$(-\infty, -3)$$ до $$(2, 3)$$ (не включая точку (2,3)).
• Отрезком от $$(2, 2.5)$$ (включая) до $$(3, -0.5)$$ (включая).
• Лучом от $$(3, -0.5)$$ (не включая) до $$(+\infty, +\infty)$$.

Горизонтальная прямая $$ y = m $$ будет иметь две общие точки с графиком, если:

• $$ m = 3 $$ (прямая проходит через точку (2, 3) на первом участке и через точку (4, 3) на третьем участке).
• $$ m = -0.5 $$ (прямая проходит через точку (3, -0.5) на втором и третьем участках).
• $$ m $$ находится между значением $$y$$ в точке $$x=2$$ на первом участке (3) и значением $$y$$ в точке $$x=2$$ на втором участке (2.5), т.е. $$ 2.5 < m < 3 $$. В этом случае прямая пересечет первый и второй участки.
• $$ m $$ находится между значением $$y$$ в точке $$x=3$$ на втором участке (-0.5) и значением $$y$$ в начале третьего участка (также -0.5), но учитывая, что второй участок заканчивается на -0.5, а третий начинается от -0.5, эта точка является непрерывной.

Пересмотрим анализ точек:

• Первая прямая: $$ y = 3x - 3 $$ для $$ x < 2 $$. При $$x=2$$, $$y=3$$. Таким образом, верхняя граница этого участка — точка $$(2,3)$$, которая не включается.
• Вторая прямая: $$ y = -3x + 8.5 $$ для $$ 2 ≤ x ≤ 3 $$. При $$x=2$$, $$y=2.5$$. При $$x=3$$, $$y=-0.5$$. Этот участок — отрезок от $$(2, 2.5)$$ до $$(3, -0.5)$$, включая обе точки.
• Третья прямая: $$ y = 3.5x - 11 $$ для $$ x > 3 $$. При $$x=3$$, $$y=-0.5$$. Этот участок начинается от точки $$(3, -0.5)$$ (не включая) и идет вверх.

График функции выглядит так: луч до $$(2,3)$$, затем отрезок от $$(2, 2.5)$$ до $$(3, -0.5)$$, затем луч от $$(3, -0.5)$$.

Теперь найдем $$ m $$, при которых прямая $$ y=m $$ имеет две общие точки:

• Если $$ m=3 $$, то прямая $$ y=3 $$ пересекает первый луч (в точке $$x=2$$, но эта точка не включена, поэтому рассмотрим $$x$$ немного меньше 2, где $$y$$ будет близко к 3) и третий луч (например, при $$x=4$$, $$y=3$$). Это дает две точки.
• Если $$ m=-0.5 $$, то прямая $$ y=-0.5 $$ пересекает второй отрезок (в точке $$x=3$$) и третий луч (в точке $$x=3$$, но эта точка не включена, и так как мы переходим от отрезка к лучу, эта точка является общей). Это дает две точки.
• Если $$ 2.5 < m < 3 $$, то прямая $$ y=m $$ пересекает первый луч и второй отрезок. Это дает две точки.

Ответ: Прямая $$ y=m $$ имеет с графиком ровно две общие точки при $$ m ∈ (-0.5, 2.5) ∪ \{3\}$$.