Постройте график функции: y= [x + 2, x < -3, x²+2x-4, x > -3. Введите все значения т, при которых прямая у = т имеет ровно две точки пересечения с построенным графиком.

Для решения этой задачи нужно проанализировать каждую часть функции и найти точки, где прямая y = m пересекает график функции ровно два раза.

Функция задана двумя частями:

• \( y = x + 2 \) при \( x \le -3 \)
• \( y = x^2 + 2x - 4 \) при \( x > -3 \)

Рассмотрим каждую часть отдельно.

Шаг 1: Анализ первой части функции \( y = x + 2 \) при \( x \le -3 \)

Это линейная функция, прямая линия. Найдем значение функции в точке \( x = -3 \):

\[ y = -3 + 2 = -1 \]

Таким образом, при \( x = -3 \), \( y = -1 \). Так как это прямая линия, идущая в бесконечность влево, любая горизонтальная прямая \( y = m \) при \( m > -1 \) пересечет эту часть графика только в одной точке.

Шаг 2: Анализ второй части функции \( y = x^2 + 2x - 4 \) при \( x > -3 \)

Это квадратичная функция, парабола. Преобразуем ее к виду, выделяя полный квадрат:

\[ y = x^2 + 2x - 4 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 4 = (x + 1)^2 - 5 \]

Вершина параболы находится в точке \( (-1, -5) \). Так как \( x > -3 \), рассмотрим поведение функции справа от этой точки.

Найдем значение функции при \( x = -3 \):

\[ y = (-3)^2 + 2(-3) - 4 = 9 - 6 - 4 = -1 \]

Таким образом, при \( x = -3 \), \( y = -1 \). Ветви параболы направлены вверх.

Шаг 3: Построение графика

Для более точного анализа построим график функции:

Шаг 4: Анализ пересечений с горизонтальными прямыми

• При \( m = -1 \) прямая \( y = -1 \) пересекает график в одной точке (разрыв функции).
• При \( -5 < m < -1 \) прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках, и не пересекает прямую \( y = x + 2 \).
• При \( m = -5 \) прямая \( y = -5 \) касается параболы в вершине, и не пересекает прямую \( y = x + 2 \).
• При \( m > -1 \) прямая \( y = m \) пересекает и параболу (в одной точке) и прямую (в одной точке), то есть всего в двух точках.

Шаг 5: Запись ответа

Таким образом, прямая \( y = m \) имеет ровно две точки пересечения с графиком функции при \( -5 < m < -1 \) и \( m > -1 \).