Постройте график функции y=\frac{(x^2+2,25)(x+1)}{-1-x} Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для начала упростим функцию:

$$y = \frac{(x^2+2.25)(x+1)}{-1-x} = \frac{(x^2+2.25)(x+1)}{-(x+1)}$$

При $$x
eq -1$$, $$y = -(x^2+2.25) = -x^2-2.25$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $$(0; -2.25)$$. Так как $$x
eq -1$$, то на параболе есть выколотая точка. Найдем ее координату y:

$$y(-1) = -(-1)^2 - 2.25 = -1 - 2.25 = -3.25$$

Итак, выколотая точка имеет координаты $$(-1; -3.25)$$.

Теперь рассмотрим прямую $$y = kx$$. Эта прямая проходит через начало координат $$O(0; 0)$$.

Чтобы прямая $$y = kx$$ имела с графиком функции $$y = -x^2 - 2.25$$ ровно одну общую точку, нужно, чтобы прямая касалась параболы, либо проходила через выколотую точку.

1) Прямая проходит через выколотую точку $$(-1; -3.25)$$:

$$y = kx$$

$$-3.25 = k \cdot (-1)$$

$$k = 3.25$$

2) Прямая касается параболы. Найдем точки пересечения прямой и параболы:

$$kx = -x^2 - 2.25$$

$$x^2 + kx + 2.25 = 0$$

Чтобы было одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

$$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.25 = 0$$

$$k^2 = 9$$

$$k = \pm 3$$

Таким образом, получаем три значения $$k$$, при которых прямая $$y = kx$$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:

• $$k = 3.25$$
• $$k = 3$$
• $$k = -3$$

Ответ: $$k = 3.25$$, $$k = 3$$, $$k = -3$$.