Постройте график функции y=\frac{(x^2+2,25)(x+1)}{-1-x}. Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для начала упростим функцию:

$$y = \frac{(x^2 + 2.25)(x+1)}{-1-x} = \frac{(x^2 + 2.25)(x+1)}{-(1+x)}$$

Сокращаем дробь, учитывая, что $$x
eq -1$$:

$$y = -(x^2 + 2.25) = -x^2 - 2.25$$

Таким образом, графиком функции является парабола с вершиной в точке (0, -2.25) и ветвями, направленными вниз. При этом точка (-1, -3.25) выколота.

Теперь рассмотрим прямую $$y = kx$$. Нам нужно найти такие значения $$k$$, при которых эта прямая имеет с параболой ровно одну общую точку. Это означает, что уравнение

$$kx = -x^2 - 2.25$$

должно иметь ровно одно решение. Преобразуем уравнение к виду:

$$x^2 + kx + 2.25 = 0$$

Это квадратное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант равен нулю:

$$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.25 = k^2 - 9 = 0$$

Отсюда получаем:

$$k^2 = 9$$ $$k = \pm 3$$

Однако, нужно учесть, что при $$x = -1$$ функция не определена. Проверим, не проходит ли прямая $$y = kx$$ через эту точку при найденных значениях $$k$$.

Если $$x = -1$$, то $$y = -k$$. Выколотая точка имеет координаты (-1, -3.25). Подставим $$k = 3$$:

$$y = -3
eq -3.25$$

Подставим $$k = -3$$:

$$y = 3
eq -3.25$$

Теперь нужно проверить случай, когда прямая проходит через выколотую точку. В этом случае, она также не будет давать два пересечения с параболой. Прямая $$y=kx$$ проходит через точку $$(-1, -3.25)$$, если $$-3.25 = k \cdot (-1)$$, то есть $$k = 3.25$$.

При $$k = 3.25$$ уравнение $$3.25x = -x^2 - 2.25$$ имеет вид $$x^2 + 3.25x + 2.25 = 0$$. Дискриминант этого уравнения равен $$3.25^2 - 4 \cdot 2.25 = 10.5625 - 9 = 1.5625 > 0$$, то есть уравнение имеет два корня.

Однако, при $$k=3.25$$ прямая $$y=3.25x$$ пересекает параболу в точке с абсциссой $$-1$$, то есть в выколотой точке.

Рассмотрим дискриминант $$D = k^2 - 9$$. Если $$D > 0$$, то уравнение имеет два корня. Нам нужно, чтобы один из корней был равен $$-1$$. Тогда $$(-1)^2 + k(-1) + 2.25 = 0$$, или $$1 - k + 2.25 = 0$$, то есть $$k = 3.25$$. В этом случае $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = -2.25$$. Значит $$k = 3.25$$ не подходит.

Итак, прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $$k = \pm 3$$.

График функции:

Ответ: $$k = \pm 3$$