Постройте график функции y=1/2(|x/4 - 4| + x/4) + x/4 Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: m = 4

1. Шаг 1: Раскрываем модульРассмотрим два случая: a) Если \(\frac{x}{4} - 4 \geq 0\), то \(x \geq 16\). Тогда:\[y = \frac{1}{2}(\frac{x}{4} - 4 + \frac{x}{4}) + \frac{x}{4} = \frac{1}{2}(\frac{x}{2} - 4) + \frac{x}{4} = \frac{x}{4} - 2 + \frac{x}{4} = \frac{x}{2} - 2\] б) Если \(\frac{x}{4} - 4 < 0\), то \(x < 16\). Тогда:\[y = \frac{1}{2}(-\frac{x}{4} + 4 + \frac{x}{4}) + \frac{x}{4} = \frac{1}{2}(4) + \frac{x}{4} = 2 + \frac{x}{4}\]
2. Шаг 2: Записываем функцию кусочно\[y = \begin{cases} \frac{x}{2} - 2, & x \geq 16 \\ 2 + \frac{x}{4}, & x < 16 \end{cases}\]
3. Шаг 3: Строим график функции
4. Шаг 4: Анализируем график и находим значения mПрямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку, когда она проходит через точку стыка двух кусков графика или касается одного из них. В точке стыка \(x = 16\):\[y = \frac{16}{2} - 2 = 8 - 2 = 6\]\[y = 2 + \frac{16}{4} = 2 + 4 = 6\]При \(x < 16\), \(y = 2 + \frac{x}{4}\). Если \(x = 0\), то \(y = 2\). При \(x = 16\), \(y = 6\). При \(x > 16\), \(y = \frac{x}{2} - 2\). Если \(x = 16\), то \(y = 6\). Если \(x = 20\), то \(y = \frac{20}{2} - 2 = 10 - 2 = 8\)Т.е. график возрастает. Горизонтальная прямая имеет одну общую точку с графиком в точке излома при \(y = 6\). Но, так как при \(x = 16\), \(y = 6\), a в первом случае \(y = \frac{x}{2} - 2\) то графики "смыкаются" в этой точке. Т.е. единственное решение - это горизонтальная прямая проходящая через точку \(y = 4\).

Ответ: m = 4