Постройте график функции y = \frac{3x + 5}{3x^2 + 5x}. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упрощение функции

   Прежде чем строить график, упростим функцию:

   $$y = \frac{3x + 5}{3x^2 + 5x} = \frac{3x + 5}{x(3x + 5)}$$

   Сокращаем дробь:

   $$y = \frac{1}{x}$$, при условии $$x
   eq 0$$ и $$3x + 5
   eq 0$$, то есть $$x
   eq -\frac{5}{3}$$.

2. Построение графика

   График функции $$y = \frac{1}{x}$$ – гипербола с выколотой точкой в $$x = -\frac{5}{3}$$.

3. Анализ прямой $$y = kx$$

   Прямая $$y = kx$$ – это прямая, проходящая через начало координат. Нам нужно найти такие значения $$k$$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

4. Условие одной общей точки

   Одна общая точка возможна в двух случаях:

   • Прямая $$y = kx$$ касается графика $$y = \frac{1}{x}$$.

   • Прямая $$y = kx$$ проходит через выколотую точку $$\left(-\frac{5}{3}; -\frac{3}{5}\right)$$.

5. Касание графика

   Для касания графиков необходимо, чтобы уравнение $$kx = \frac{1}{x}$$ имело единственное решение.

   $$kx^2 = 1$$ $$x^2 = \frac{1}{k}$$

   Единственное решение будет при $$k > 0$$. Тогда $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}}$$. Однако, поскольку касание должно быть только в одной точке, рассмотрим производную функции $$y = \frac{1}{x}$$.

   $$y' = -\frac{1}{x^2}$$

   Угловой коэффициент касательной $$k = y' = -\frac{1}{x^2}$$. Но $$x^2 = \frac{1}{k}$$, следовательно, $$k = -k$$. Это возможно только при $$k = 0$$, но это не решение, так как прямая $$y = 0$$ имеет бесконечно много общих точек с графиком функции $$y = \frac{1}{x}$$.

6. Прохождение через выколотую точку

   Прямая $$y = kx$$ проходит через точку $$\left(-\frac{5}{3}; -\frac{3}{5}\right)$$. Подставим координаты этой точки в уравнение прямой:

   $$-\frac{3}{5} = k \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)$$ $$k = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$$

7. Особый случай

   Прямая $$x = 0$$ или $$y = kx$$ при $$k = 0$$ пересекает график в бесконечном количестве точек, поэтому не подходит.

Ответ: $$k = \frac{9}{25}$$

Ответ: 9/25