Постройте график функции y = |x²+2x-3|. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Давай решим эту задачу вместе! Сначала нам нужно понять, как выглядит график функции y = |x² + 2x - 3| и как он взаимодействует с прямыми, параллельными оси абсцисс.

1. Рассмотрим функцию без модуля:

   Сначала рассмотрим функцию y = x² + 2x - 3. Это квадратичная функция, и её график – парабола. Найдем вершину параболы и точки пересечения с осью x.

2. Найдем вершину параболы:

   Координата x вершины параболы определяется формулой: x_вершины = -b / (2a), где a и b – коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. В нашем случае a = 1, b = 2, c = -3.

   x_вершины = -2 / (2 * 1) = -1

   Теперь найдем y-координату вершины, подставив x_вершины в уравнение: y_вершины = (-1)² + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4

   Итак, вершина параболы находится в точке (-1, -4).

3. Найдем точки пересечения с осью x:

   Чтобы найти точки пересечения с осью x, решим уравнение x² + 2x - 3 = 0. Это можно сделать с помощью теоремы Виета или квадратного уравнения. Здесь легко увидеть, что x = 1 и x = -3 являются корнями уравнения, так как (x - 1)(x + 3) = x² + 2x - 3.

   Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (1, 0) и (-3, 0).

4. Построим график функции y = |x² + 2x - 3|:

   Теперь применим модуль. Модуль означает, что все значения y, которые были отрицательными, станут положительными. Это отразит нижнюю часть параболы (то есть ту часть, которая находится ниже оси x) вверх относительно оси x.

   Вершина параболы, которая была в точке (-1, -4), теперь будет в точке (-1, 4).

   Точки пересечения с осью x останутся прежними: (1, 0) и (-3, 0).

5. Определим наибольшее число точек пересечения с прямой, параллельной оси абсцисс:

   Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид y = k, где k – некоторая константа. Нам нужно найти такое значение k, при котором прямая y = k будет пересекать график функции y = |x² + 2x - 3| в наибольшем количестве точек.

   Рассмотрим разные значения k:

   • Если k < 0, прямая y = k не пересекает график функции (так как модуль всегда неотрицателен).
   • Если k = 0, прямая y = 0 пересекает график в двух точках: (1, 0) и (-3, 0).
   • Если 0 < k < 4, прямая y = k пересекает график в четырех точках.
   • Если k = 4, прямая y = 4 пересекает график в трех точках (вершина параболы и две точки по бокам).
   • Если k > 4, прямая y = k пересекает график в двух точках.

   Таким образом, наибольшее число точек пересечения – 4.

Ответ: 4

Ты отлично справился с заданием! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя обязательно получится еще больше!