Постройте график функции y = 3 - (x+2)/(x²+2x) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упростим функцию.

  \[y = 3 - \frac{x+2}{x^2+2x} = 3 - \frac{x+2}{x(x+2)}\]

  При \(x
  eq -2\) получим:

  \[y = 3 - \frac{1}{x}\]

• Шаг 2: Определим область определения функции.

  Функция не определена при \(x = 0\) и \(x = -2\). Следовательно, область определения:

  \[x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)\]

• Шаг 3: Найдем горизонтальную асимптоту.

  Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при \(x \to \pm \infty\):

  \[\lim_{x \to \pm \infty} (3 - \frac{1}{x}) = 3\]

  Таким образом, горизонтальная асимптота: \(y = 3\).

• Шаг 4: Определим значение функции в точке разрыва \(x = -2\).

  Подставим \(x = -2\) в упрощенную функцию \(y = 3 - \frac{1}{x}\):

  \[y = 3 - \frac{1}{-2} = 3 + \frac{1}{2} = 3.5\]

• Шаг 5: Найдем значения \(m\), при которых прямая \(y = m\) не имеет общих точек с графиком функции.

  Прямая \(y = m\) не пересекает график функции в следующих случаях:

  • Когда \(y = 3\) (горизонтальная асимптота).
  • Когда \(x = -2\) и \(y = 3.5\) (точка разрыва).

Ответ: Прямая y = m не имеет общих точек с графиком функции при m = 3 и m = 3.5