Постройте график функции y = (x² +0,25)(x-1) / (1-x). Определите, при каких значениях k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Привет! Давай разберем эту интересную задачу по математике. Нам нужно построить график функции и определить, при каких значениях параметра k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Преобразуем функцию

Сначала упростим выражение для функции:

\[y = \frac{(x^2 + 0.25)(x - 1)}{1 - x}\]

Заметим, что \(1 - x = -(x - 1)\), поэтому:

\[y = \frac{(x^2 + 0.25)(x - 1)}{-(x - 1)}\]

При \(x
eq 1\), мы можем сократить \((x - 1)\):

\[y = -(x^2 + 0.25) = -x^2 - 0.25\]

Таким образом, мы имеем параболу \(y = -x^2 - 0.25\) с вершиной в точке \((0, -0.25)\), направленную вниз, но с выколотой точкой при \(x = 1\).

2. Найдем y-координату выколотой точки

Подставим \(x = 1\) в упрощенную функцию:

\[y = -(1^2 + 0.25) = -1 - 0.25 = -1.25\]

Итак, на графике есть выколотая точка \((1, -1.25)\).

3. Анализ прямой y = kx

Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат \((0, 0)\). Наша задача - найти значения \(k\), при которых эта прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

4. Условие касания или пересечения в одной точке

Рассмотрим уравнение:

\[kx = -x^2 - 0.25\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 + kx + 0.25 = 0\]

Это квадратное уравнение. Для того чтобы прямая имела с параболой только одну общую точку, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю:

\[D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.25 = k^2 - 1\]

Чтобы дискриминант был равен нулю:

\[k^2 - 1 = 0\]

\[k^2 = 1\]

\[k = \pm 1\]

Таким образом, мы получили два значения: \(k = 1\) и \(k = -1\).

5. Проверка выколотой точки

Теперь нам нужно проверить, не проходит ли одна из этих прямых через выколотую точку \((1, -1.25)\). Подставим координаты точки в уравнение прямой \(y = kx\):

\[-1.25 = k \cdot 1\]

\[k = -1.25\]

Значение \(k = -1.25\) не совпадает с \(k = 1\) или \(k = -1\), поэтому нам нужно проверить, что происходит при этих значениях \(k\).

6. Анализ k = 1 и k = -1

- При \(k = 1\), уравнение прямой \(y = x\).

- При \(k = -1\), уравнение прямой \(y = -x\).

Подставим \(x = 1\) в \(y = x\):

\[y = 1\]

Точка \((1, 1)\) не является выколотой.

Подставим \(x = 1\) в \(y = -x\):

\[y = -1\]

Точка \((1, -1)\) также не является выколотой.

Однако, нам нужно убедиться, что при \(k = 1\) или \(k = -1\), прямая не проходит через выколотую точку.

Выколотая точка \((1, -1.25)\):

Прямая \(y = kx\) проходит через эту точку, если \(-1.25 = k \cdot 1\), то есть \(k = -1.25\).

7. Учет выколотой точки

Если прямая \(y = kx\) проходит через выколотую точку \((1, -1.25)\), то это не считается точкой пересечения с графиком исходной функции, так как в этой точке функция не определена.

Значит, при \(k = -1.25\) прямая \(y = -1.25x\) проходит через выколотую точку, и у нас остается только одна точка пересечения, если дискриминант равен нулю.

Поэтому, нам нужно исключить случай, когда прямая касается параболы в точке, отличной от выколотой.

8. Решение с учетом выколотой точки

Итак, у нас есть два значения \(k\) из условия касания: \(k = 1\) и \(k = -1\). Теперь рассмотрим случай, когда прямая проходит через выколотую точку \((1, -1.25)\):

\[-1.25 = k \cdot 1\]

\[k = -1.25\]

При \(k = -1.25\) прямая проходит через выколотую точку, и других точек пересечения с графиком нет (кроме как в выколотой точке).

9. Финальные значения k

Таким образом, прямая \(y = kx\) имеет ровно одну общую точку с графиком функции, если:

- \(k = 1\)

- \(k = -1\)

- \(k = -1.25\)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!