1. Постройте график функции y = {x²+4x+4, если x ≥ -4, 16/x, если x < -4. и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком одну или две общие точки. 2. Постройте график функции у = |x² + 4х - 5|. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс? 3. Постройте график функции у = х² - |4х+3| и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три общие точки.

1. Постройте график функции

Для начала рассмотрим функцию:

\[ y = \begin{cases} x^2 + 4x + 4, & \text{если } x \geq -4 \\ \frac{16}{x}, & \text{если } x < -4 \end{cases} \]

Преобразуем первое выражение:

\[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \]

Таким образом, функция принимает вид:

\[ y = \begin{cases} (x + 2)^2, & \text{если } x \geq -4 \\ \frac{16}{x}, & \text{если } x < -4 \end{cases} \]

Теперь построим график этой функции. Для этого сначала построим графики каждой части функции отдельно:

• Для x ≥ -4: График функции y = (x + 2)² представляет собой параболу с вершиной в точке (-2, 0).
• Для x < -4: График функции y = 16/x представляет собой гиперболу. Ветвь гиперболы находится во второй четверти. При x = -4, y = -4.

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки:

• Одна общая точка: Прямая y = m имеет одну общую точку с графиком, когда она касается параболы в вершине или пересекает только одну ветвь гиперболы. Это происходит при m = 0 (касание параболы) и при m < -4 (пересечение с гиперболой).
• Две общие точки: Прямая y = m имеет две общие точки с графиком, когда она пересекает параболу в двух точках (для m > 0) или пересекает обе ветви графика в двух точках (одна точка на параболе, другая на гиперболе).

Таким образом:

• Одна общая точка: m = 0 или m < -4
• Две общие точки: m > 0

2. Постройте график функции y = |x² + 4х - 5|. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Рассмотрим функцию:

\[ y = |x^2 + 4x - 5| \]

Для начала найдем корни квадратного уравнения x² + 4x - 5 = 0. Используем дискриминант:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \]

Вершина параболы находится в точке:

\[ x_v = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ y_v = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \]

Так как у нас модуль, все значения y, которые меньше нуля, отражаются вверх.

Рассмотрим график. Прямая, параллельная оси абсцисс, может пересекать график в разных точках. Наибольшее число общих точек достигается, когда прямая проходит через точку, соответствующую вершине исходной параболы, отраженной вверх. В этом случае прямая y = 9 будет иметь четыре общие точки с графиком.

Наибольшее число общих точек: 4

3. Постройте график функции y = x² - |4x + 3| и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию:

\[ y = x^2 - |4x + 3| \]

Раскроем модуль:

\[ y = \begin{cases} x^2 - (4x + 3), & \text{если } 4x + 3 \geq 0 \\ x^2 + (4x + 3), & \text{если } 4x + 3 < 0 \end{cases} \]

Упростим:

\[ y = \begin{cases} x^2 - 4x - 3, & \text{если } x \geq -\frac{3}{4} \\ x^2 + 4x + 3, & \text{если } x < -\frac{3}{4} \end{cases} \]

Построим график этой функции.

Чтобы определить, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки, рассмотрим точки стыка двух частей графика и вершины каждой параболы.

\[ x = -\frac{3}{4} \] \[ y = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 4\left(-\frac{3}{4}\right) - 3 = \frac{9}{16} + 3 - 3 = \frac{9}{16} \]

Найдем вершину каждой параболы:

• Для x >= -3/4: x_v = -(-4)/2 = 2, y_v = 2^2 - 4*2 - 3 = 4 - 8 - 3 = -7
• Для x < -3/4: x_v = -4/2 = -2, y_v = (-2)^2 + 4*(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

Прямая y = m имеет три общие точки с графиком при m = -1 и m = 9/16.

Значения m: m = -1 и m = 9/16