Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаПостройте график функции y = (x-3) / (x^2-3x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку. 23 Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 36. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. 24 Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны ВС. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC.
Ответ:
Задание 22: График функции и прямая
Для начала, упростим функцию:
\[ y = \frac{x-3}{x^2-3x} = \frac{x-3}{x(x-3)} \]Сокращаем (x-3), но помним, что x ≠ 3, иначе деление на ноль:
\[ y = \frac{1}{x}, \quad xeq 3 \]
Это гипербола с выколотой точкой в x = 3. Найдем значение y в этой точке:
\[ y = \frac{1}{3} \]Итак, у нас гипербола y = 1/x, но без точки (3, 1/3).
Теперь рассмотрим прямую y = kx. Нам нужно найти такие k, чтобы прямая пересекала график функции только в одной точке.
Приравниваем y:
\[ kx = \frac{1}{x} \] \[ kx^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{k} \]Чтобы было одно решение, нужно, чтобы k > 0 (иначе нет решений) и x ≠ 3. Значит:
\[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}} \]Если x = 3, то:
\[ 3 = \pm \sqrt{\frac{1}{k}} \] \[ 9 = \frac{1}{k} \] \[ k = \frac{1}{9} \]Итак, если k = 1/9, то прямая y = kx пройдет через выколотую точку (3, 1/3), и у нас не будет общей точки. Но нам нужно, чтобы была ровно одна общая точка. Значит, нужно исключить этот случай.
Если k < 0, то x^2 = 1/k не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным. Значит, k не может быть отрицательным.
Если k = 0, то y = 0. Прямая y = 0 пересекает график функции y = 1/x в бесконечности, но у нас есть ограничение x ≠ 3. Так как y = 1/x никогда не равно 0, то у нас нет точек пересечения, значит, k = 0 не подходит.
Итак, одно решение будет, когда k > 0 и k ≠ 1/9.
Ответ: k > 0, k ≠ 1/9
Задание 23: Высота в прямоугольном треугольнике
Пусть катеты a = 15 и b = 36. Найдем гипотенузу c по теореме Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 36^2} = \sqrt{225 + 1296} = \sqrt{1521} = 39 \]Теперь найдем высоту h, проведенную к гипотенузе. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:
\[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch \]Отсюда:
\[ h = \frac{ab}{c} = \frac{15 \cdot 36}{39} = \frac{540}{39} = \frac{180}{13} \approx 13.85 \]Ответ: h = 180/13 ≈ 13.85
Задание 24: Биссектриса в параллелограмме
Пусть ABCD — параллелограмм, CD = 2BC, N — середина CD. Нужно доказать, что BN — биссектриса угла ABC.
Так как N — середина CD, то CN = ND = BC (по условию CD = 2BC).
Рассмотрим треугольник BCN. Так как BC = CN, то треугольник BCN — равнобедренный. Значит, углы CBN и CNB равны.
Угол CNB равен углу ABN как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BN.
Тогда угол CBN равен углу ABN, а это значит, что BN — биссектриса угла ABC.
Ответ: Доказано, что BN — биссектриса угла ABC
