Постройте график функции y = (3x+5)/(3x^2 + 5x) Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: k = 0 или k = -9/25

1. Шаг 1: Упростим функцию.

\[ y = \frac{3x+5}{3x^2 + 5x} = \frac{3x+5}{x(3x+5)} \]

При условии, что \( x
eq 0 \) и \( 3x+5
eq 0 \), т.е. \( x
eq -\frac{5}{3} \), функция упрощается до:

\[ y = \frac{1}{x} \]

2. Шаг 2: Найдем точки пересечения с прямой y = kx.

Решаем уравнение:

\[ \frac{1}{x} = kx \]

Умножаем обе части на x (при условии \( x
eq 0 \)):

\[ 1 = kx^2 \]

Тогда:

\[ x^2 = \frac{1}{k} \]

И:

\[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}} \]

Чтобы было только одно решение, нужно чтобы \( k < 0 \). При этом, \( x
eq -\frac{5}{3} \). Если \( x = -\frac{5}{3} \), то:

\[ y = \frac{1}{-\frac{5}{3}} = -\frac{3}{5} \]

Прямая \( y = kx \) должна проходить через эту точку:

\[ -\frac{3}{5} = k \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) \]

Отсюда:

\[ k = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25} \]

Но так как \( k < 0 \), то такого значения быть не может.

Рассмотрим случай, когда прямая \( y=kx \) проходит через точку прорыва графика функции, а именно, \( x=-\frac{5}{3} \).

Если \( x=-\frac{5}{3} \), то \( y=\frac{1}{x}=-\frac{3}{5} \). Подставим эти значения в уравнение прямой \( y=kx \):

\[ -\frac{3}{5}=k\cdot \left(-\frac{5}{3}\right) \]

Решим это уравнение относительно \( k \):

\[ k=\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{5}{3}}=\frac{9}{25} \]

Однако, при таком значении \( k \) прямая \( y=kx \) пересекает график функции в двух точках, что не соответствует условию задачи.

Теперь рассмотрим случай, когда \( x=0 \), а \( y=0 \).

В этом случае:

\[ 0=k\cdot 0 \]

Таким образом, если \( k=0 \), прямая \( y=0 \) имеет с графиком функции только одну общую точку, поскольку прямая \( y=0 \) не пересекает график в точке \( x=-\frac{5}{3} \), в которой функция не определена.

Остается рассмотреть случай, когда прямая \( y=kx \) касается графика функции.

\[ \frac{1}{x}=kx \]

Исключаем случай \( x=-\frac{5}{3} \), так как при этом условии график не существует, и прямая не может касаться графика функции в этой точке.

\[ x^2 = \frac{1}{k} \]

При \( k > 0 \), существует два решения, но при \( k < 0 \) решение отсутствует.

Подставим \( x=-\frac{5}{3} \) в уравнение \( y=kx \), получаем \( k = \frac{9}{25} \). Но так как \( x
eq -\frac{5}{3} \), при \( x=-\frac{5}{3} \) функция \( y = \frac{1}{x} \) не определена. Это означает, что у нас есть только одна общая точка, когда \( k = -\frac{9}{25} \).

Таким образом, прямая \( y=kx \) имеет с графиком функции ровно одну общую точку при \( k = 0 \) или \( k = -\frac{9}{25} \).

Ответ: k = 0 или k = -9/25