Постройте график функции y = { -x^2 + 3x, если x < 4; 2,5x - 10, если x ≥ 4 } и определите, при каких значениях а прямая y = а имеет с графиком ровно две общих точки.

Question

Вопрос:

Постройте график функции y = { -x^2 + 3x, если x < 4; 2,5x - 10, если x ≥ 4 } и определите, при каких значениях а прямая y = а имеет с графиком ровно две общих точки.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе. Нам нужно построить график кусочно-заданной функции и найти такие значения 'a', при которых прямая $$y=a$$ пересекает этот график ровно в двух точках.

1. Строим график функции

Функция состоит из двух частей:

\[ y = -x^2 + 3x \] при $ x < 4 $
\[ y = 2.5x - 10 \] при $ x \ge 4 $

Первая часть: парабола $$y = -x^2 + 3x$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз (из-за знака минус перед $$x^2$$). Найдем вершину параболы. Координата x вершины находится по формуле $ x_в = -b / (2a) $. В нашем случае $ a = -1 $ и $ b = 3 $, поэтому $ x_в = -3 / (2 * -1) = 1.5 $.

Найдем значение y в вершине: $ y_в = -(1.5)^2 + 3 * 1.5 = -2.25 + 4.5 = 2.25 $. Вершина параболы находится в точке $ (1.5, 2.25) $.

Теперь найдем точки, где парабола пересекает ось x (приравняем $ y = 0 $):

\[ -x^2 + 3x = 0 \]\[ x(-x + 3) = 0 \]\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 \]Точки пересечения с осью x: $ (0, 0) $ и $ (3, 0) $.

Нам нужно построить эту часть параболы только для $ x < 4 $. При $ x = 4 $ значение функции будет:

\[ y = -(4)^2 + 3 * 4 = -16 + 12 = -4 \]Значит, на этой части графика у нас есть точка $ (4, -4) $, но она не включается, так как $ x < 4 $. На графике это будет выглядеть как незакрашенная точка.

Вторая часть: прямая $$y = 2.5x - 10$$

Эта часть графика существует для $ x \ge 4 $. Найдем значение функции при $ x = 4 $:

\[ y = 2.5 * 4 - 10 = 10 - 10 = 0 \]Значит, на этой части графика у нас есть точка $ (4, 0) $, которая включается, так как $ x \ge 4 $. На графике это будет закрашенная точка.

Это прямая с положительным угловым коэффициентом 2.5, то есть она будет идти вверх.

2. График

Теперь давайте представим, как это выглядит на графике. Парабола идет от $ x = -\infty $ до $ x = 4 $ (не включая точку $ x=4 $), а прямая начинается от $ x = 4 $ (включая точку $ x=4 $) и идет до $ x = +\infty $.

На графике мы увидим:

Параболу с вершиной $ (1.5, 2.25) $ и пересечениями с осью x в $ (0,0) $ и $ (3,0) $, которая заканчивается незакрашенной точкой $ (4, -4) $.
Прямую, которая начинается с закрашенной точки $ (4, 0) $ и идет вверх.

Важные точки для графика:

Парабола: $ (0,0), (1,2), (1.5, 2.25), (2,2), (3,0) $
Конечная точка первой части (не включена): $ (4, -4) $
Начальная точка второй части (включена): $ (4, 0) $
Еще одна точка на прямой, например, при $ x=5 $: $ y = 2.5*5 - 10 = 12.5 - 10 = 2.5 $ -> $ (5, 2.5) $

К сожалению, я не могу нарисовать график прямо здесь, но ты можешь представить его, используя эти точки.

3. Находим значения 'a'

Прямая $ y = a $ — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения $ a $, чтобы эта линия пересекала наш график ровно два раза.

Рассмотрим, как горизонтальная линия может пересекать наш график:

Пересечение с параболой: Парабола имеет вершину $ (1.5, 2.25) $. Горизонтальная линия $ y = a $ будет пересекать параболу дважды, если $ a < 2.25 $ (и $ a $ больше минимального значения параболы на заданном интервале).
Пересечение с прямой: Прямая $ y = 2.5x - 10 $ для $ x \ge 4 $ идет вверх. Она пересечет любую горизонтальную линию $ y = a $ ровно один раз (если $ a $ достаточно велико).

Теперь давайте проанализируем возможные случаи:

Если $ a $ больше максимального значения параболы ( $ a > 2.25 $ ), то линия $ y=a $ пересечет параболу 0 раз (на интервале $ x < 4 $). Она также пересечет прямую 1 раз. Итого 1 пересечение.
Если $ a = 2.25 $ (вершина параболы), то линия $ y=a $ коснется параболы в одной точке (вершине). Она также пересечет прямую 1 раз. Итого 2 пересечения.
Если $ 0 < a < 2.25 $ , то линия $ y=a $ пересечет параболу в двух точках. Она также пересечет прямую 1 раз. Итого 3 пересечения.
Если $ a = 0 $ , то линия $ y=a $ пройдет через точки $ (0,0) $ и $ (3,0) $ на параболе. Она также пересечет прямую 1 раз (при $ x=4 $). Итого 3 пересечения.
Если $ -4 < a < 0 $ , то линия $ y=a $ пересечет параболу в двух точках. Она также пересечет прямую 1 раз. Итого 3 пересечения.
Если $ a = -4 $ , то линия $ y=a $ будет проходить через точку $ (4, -4) $ (не включенную в параболу). Она также пересечет прямую 1 раз. Итого 1 пересечение.
Если $ a < -4 $ , то линия $ y=a $ пересечет параболу в двух точках. Она также пересечет прямую 1 раз. Итого 3 пересечения.

Давай пересмотрим точки на графике. Особое внимание уделим точке $ x=4 $.

Для параболы $ y = -x^2 + 3x $ при $ x < 4 $:

Максимальное значение $ y = 2.25 $ в вершине $ x=1.5 $.
Значение при $ x \to 4 $ стремится к $ -4 $ (точка $ (4, -4) $ не включена).

Для прямой $ y = 2.5x - 10 $ при $ x \ge 4 $:

Минимальное значение при $ x=4 $ равно $ y = 2.5*4 - 10 = 0 $ (точка $ (4, 0) $ включена).

Теперь снова рассмотрим горизонтальную прямую $ y=a $:

Если $ a > 2.25 $ , прямая пересекает только прямую (1 точка).
Если $ a = 2.25 $ , прямая пересекает параболу в вершине (1 точка) и прямую (1 точка). Итого 2 точки.
Если $ 0 < a < 2.25 $ , прямая пересекает параболу в двух точках и прямую (1 точка). Итого 3 точки.
Если $ a = 0 $ , прямая пересекает параболу в $ (0,0) $ и $ (3,0) $ (2 точки) и прямую в $ (4,0) $ (1 точка). Итого 3 точки.
Если $ -4 < a < 0 $ , прямая пересекает параболу в двух точках и прямую (1 точка). Итого 3 точки.
Если $ a = -4 $ , прямая пересекает параболу в двух точках (так как $ x=4 $ не включено в параболу, и $ y=-4 $ достигается при $ x=4 $ и еще одной точке на параболе). Прямая $ y=-4 $ пересекает параболу $ y = -x^2 + 3x $ в двух точках: $-x^2 + 3x = -4 \rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \rightarrow (x-4)(x+1)=0 \rightarrow x=4 $ (не входит в первую часть) и $ x=-1 $. Точка $ (-1, -4) $ входит в первую часть. Прямая $ y = 2.5x - 10 $ при $ y=-4 $ -> $-4 = 2.5x - 10 \rightarrow 6 = 2.5x \rightarrow x = 2.4 $. Эта точка $ (2.4, -4) $ не входит во вторую часть (т.к. $ x < 4 $). Таким образом, при $ a = -4 $ прямая $ y=a $ пересекает график в точке $ (-1, -4) $ (на параболе) и прямой $ y = 2.5x - 10 $ будет пересекать ее в точке $ x=2.4 $ (что не входит во вторую часть), а для $ x=4 $ значение $ y=0 $. Значит, при $ a=-4 $ есть только одно пересечение.
Если $ a < -4 $ , прямая пересекает параболу в двух точках и прямую (1 точка). Итого 3 точки.

Похоже, я ошибся в пункте 4. Давайте проверим еще раз.

Ключевые значения 'a':

Вершина параболы: $ a = 2.25 $.
Значение параболы при $ x=4 $ (не включено): $ y = -4 $.
Значение прямой при $ x=4 $ (включено): $ y = 0 $.

Анализ:

$$a > 2.25$$: прямая пересекает только прямую $ y=2.5x-10 $ (1 точка).
$$a = 2.25$$: прямая пересекает параболу в вершине (1 точка) и прямую $ y=2.5x-10 $ (1 точка). Итого 2 точки.
$$0 < a < 2.25$$: прямая пересекает параболу в двух точках и прямую $ y=2.5x-10 $ (1 точка). Итого 3 точки.
$$a = 0$$: прямая пересекает параболу в $ (0,0) $ и $ (3,0) $ (2 точки) и прямую $ y=2.5x-10 $ в $ (4,0) $ (1 точка). Итого 3 точки.
$$-4 < a < 0$$: прямая пересекает параболу в двух точках и прямую $ y=2.5x-10 $ (1 точка). Итого 3 точки.
$$a = -4$$: прямая пересекает параболу $ y = -x^2 + 3x $ в точке $ x=-1 $ (так как $ x=4 $ не входит). Точка $ (-1, -4) $. Прямая $ y = 2.5x - 10 $ при $ y=-4 $ дает $ x=2.4 $, что меньше 4, поэтому эта часть графика не рассматривается. Итого 1 точка.
$$a < -4$$: прямая пересекает параболу в двух точках и прямую $ y=2.5x-10 $ (1 точка). Итого 3 точки.

Похоже, я опять запутался. Давай нарисуем ключевые моменты:

Парабола достигает максимума 2.25.
Справа от x=4, график начинается с точки (4, 0) и идет вверх.
При x=4, значение параболы было бы -4, но эта точка не включена.

Чтобы прямая $ y = a $ имела ровно две точки пересечения:

Случай 1: Прямая пересекает параболу в двух точках, и не пересекает прямую часть. Это возможно, если $ a $ находится ниже значения $ y=0 $ (начало прямой части), но выше значения $ y=-4 $ (где парабола