Постройте график функции y = { -x^2 + 6x - 9, если x ≥ 2; -x, если x < 2. }

Краткое пояснение:

Для построения графика данной кусочно-заданной функции, нам нужно рассмотреть каждую часть отдельно, учитывая указанные условия для x.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим первую часть функции: y = -x² + 6x - 9 при x ≥ 2.

• Это парабола, ветви которой направлены вниз (из-за коэффициента -1 перед x²).
• Найдем вершину параболы. Координата x вершины находится по формуле x = -b / (2a). В данном случае a = -1, b = 6.
• x_вершины = -6 / (2 * -1) = -6 / -2 = 3.
• Так как 3 ≥ 2, вершина параболы находится в области действия этой части функции.
• Найдем координату y вершины: y = -(3)² + 6(3) - 9 = -9 + 18 - 9 = 0.
• Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, 0).
• Найдем значение функции на границе интервала, при x = 2: y = -(2)² + 6(2) - 9 = -4 + 12 - 9 = -1. Точка (2, -1) — начало этой части графика.
• Построим несколько точек для первой части: (2, -1), (3, 0), (4, -1), (5, -4).

2. Рассмотрим вторую часть функции: y = -x при x < 2.

• Это прямая линия.
• Найдем значение функции на границе интервала, при x = 2 (хотя сама точка 2 не включается, мы находим её значение для понимания непрерывности): y = -2. Эта точка (2, -2) будет началом луча, но она не будет включена в график (обозначается пустым кружком).
• Построим несколько точек для второй части: (1, -1), (0, 0), (-1, 1), (-2, 2).

3. Построение графика:

• Нарисуйте систему координат.
• Отметьте точку (2, -1) — это начало первой части графика (параболы). Отсюда проведите ветви параболы, проходящие через (3, 0) и другие рассчитанные точки.
• Отметьте точку (2, -2) — это начало второй части графика (прямой), но она не включается. Нарисуйте прямую, исходящую из этой точки и проходящую через (1, -1), (0, 0) и т.д.

График будет состоять из части параболы, начинающейся с точки (2, -1) и идущей вправо, и луча прямой, начинающегося с точки (2, -2) (не включая ее) и идущего влево и вверх.