Постройте график функции y = -x² - 2х + 2, если х ≥ −3; -х - 2, если х < -3. Определите, при каких значениях т прямая у =т имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

1. Построение графика функции:

• Первая часть функции: y = -x² - 2х + 2 для x ≥ -3. Это парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы: x₀ = -b / (2a) = -(-2) / (2*(-1)) = 2 / -2 = -1. Найдем значение y в вершине: y₀ = -(-1)² - 2(-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3. Вершина параболы находится в точке (-1, 3).
• Вторая часть функции: y = -x - 2 для x < -3. Это прямая линия.

2. Анализ пересечений с прямой y = m:

• Прямая y = m является горизонтальной линией.
• Чтобы прямая имела ровно две общие точки с графиком, она должна пересекать обе части графика или одну часть графика в двух точках.
• Рассмотрим первую часть графика (парабола): Вершина параболы находится в точке (-1, 3). Горизонтальная прямая y = m будет иметь две общие точки с параболой, если m < 3.
• Рассмотрим вторую часть графика (прямая): Эта часть графика существует только для x < -3. Значение функции в точке x = -3 для этой прямой: y = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1. Таким образом, вторая часть графика находится ниже уровня y = 1 (не включая саму точку x = -3). Если m > 1, прямая y = m не будет иметь общих точек со второй частью графика. Если m = 1, она будет иметь одну общую точку (предельную). Если m < 1, она будет иметь одну общую точку.
• Объединим условия:
• Нам нужно, чтобы прямая y = m пересекала график ровно в двух точках.
• Если m = 3, прямая коснется вершины параболы (1 точка) и не пересечет прямую (т.к. прямая находится ниже y=1).
• Если 1 < m < 3, прямая пересечет параболу в двух точках и не пересечет прямую. Это дает нам 2 точки.
• Если m = 1, прямая пересечет параболу в двух точках (т.к. 1 < 3) и коснется конечной точки второй части графика (но эта точка не включается в область определения). Строго говоря, это будет одна точка для параболы и одна предельная точка для прямой, но обычно такие граничные случаи рассматриваются. Однако, если смотреть строго, то для x < -3, y = -x - 2, значение y стремится к 1, но никогда не достигает его.
• Если m < 1, прямая пересечет параболу в двух точках и пересечет прямую в одной точке. Это даст 3 точки.
• Итого: Для получения ровно двух общих точек, прямая y = m должна пересекать параболу в двух точках, и при этом не пересекать или пересекать вторую часть графика так, чтобы общее число точек было равно двум. Это достигается, когда 1 < m < 3.

Ответ: 1 < m < 3