Постройте график функции y = { x - 3, при x < 3, -1,5x + 4,5, при 3 ≤ x ≤ 4, 1,5x – 7,5, при x > 4. Определите, при каких значениях т прямая y = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика функции:

Функция задана кусочно. Рассмотрим каждый интервал:

1. \( y = x - 3 \) при \( x < 3 \). Это прямая. При \( x = 3 \), \( y = 0 \). При \( x = 0 \), \( y = -3 \). Точка \( (3, 0) \) — начало луча (не включая).
2. \( y = -1,5x + 4,5 \) при \( 3 \le x \le 4 \). Это отрезок. При \( x = 3 \), \( y = -1,5 · 3 + 4,5 = -4,5 + 4,5 = 0 \). При \( x = 4 \), \( y = -1,5 · 4 + 4,5 = -6 + 4,5 = -1,5 \). Отрезок соединяет точки \( (3, 0) \) и \( (4, -1.5) \).
3. \( y = 1,5x - 7,5 \) при \( x > 4 \). Это прямая. При \( x = 4 \), \( y = 1,5 · 4 - 7,5 = 6 - 7,5 = -1,5 \). При \( x = 5 \), \( y = 1,5 · 5 - 7,5 = 7,5 - 7,5 = 0 \). Луч начинается из точки \( (4, -1.5) \) (не включая).

Определение значений т:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Чтобы она имела с графиком ровно две общие точки, она должна проходить через:

1. Вершину графика (минимум) отрезка \( 3 \le x \le 4 \). Это точка \( (4, -1.5) \). Таким образом, \( m = -1.5 \).
2. Пересечение луча \( y = x - 3 \) при \( x < 3 \) с осью x. Это точка \( (3, 0) \), но так как \( x < 3 \), эта точка не включается в график, но касательная к ней даст две точки.
3. Пересечение луча \( y = 1.5x - 7.5 \) при \( x > 4 \) с осью x. Это точка \( (5, 0) \).

Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь две общие точки с графиком, если \( m = -1.5 \) (касание в точке \( (4, -1.5) \)) или \( m = 0 \) (пересечение с осью x в точках \( (3, 0) \) и \( (5, 0) \)).

Ответ: m = -1.5 или m = 0.