7. Постройте график кусочно-заданной функции (0,5х + 1,5, если -5 < x < -1; у = -х, если -1 < x < 1; -1, если 1 < x ≤ 5. По графику функции определите: а) ее область определения; б) наибольшее и наименьшее значения функции;

Решение:

Для построения графика кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть каждую часть функции на заданном интервале.

1. $$y = 0.5x + 1.5$$, если $$-5 \le x < -1$$

Это линейная функция. Найдем значения на концах интервала:

• $$x = -5$$, $$y = 0.5(-5) + 1.5 = -2.5 + 1.5 = -1$$
• $$x = -1$$, $$y = 0.5(-1) + 1.5 = -0.5 + 1.5 = 1$$

2. $$y = -x$$, если $$-1 < x \le 1$$

Это линейная функция. Найдем значения на концах интервала:

• $$x = -1$$, $$y = -(-1) = 1$$
• $$x = 1$$, $$y = -1$$

3. $$y = -1$$, если $$1 < x \le 5$$

Это горизонтальная прямая линия.

График данной функции состоит из трех частей:

• Отрезок прямой от точки $$(-5; -1)$$ до точки $$(-1; 1)$$.
• Отрезок прямой от точки $$(-1; 1)$$ до точки $$(1; -1)$$.
• Отрезок прямой $$y = -1$$ от точки $$(1; -1)$$ до точки $$(5; -1)$$.

а) Область определения функции:

Область определения функции - это все значения x, при которых функция определена. В данном случае, функция определена на интервалах $$-5 \le x < -1$$, $$-1 < x \le 1$$ и $$1 < x \le 5$$. Объединяя эти интервалы, получаем общую область определения: $$-5 \le x \le 5$$

б) Наибольшее и наименьшее значения функции:

Наибольшее значение функции достигается в точке $$x = -1$$ и равно $$y = 1$$.

Наименьшее значение функции достигается на интервале $$1 < x \le 5$$ и равно $$y = -1$$, а также в точке $$x = -5$$, где $$y = -1$$, и в точке $$x = 1$$, где $$y = -1$$.

Для построения графика воспользуемся Chart.js:

Ответ: Область определения: $$-5 \le x \le 5$$. Наибольшее значение: $$y = 1$$. Наименьшее значение: $$y = -1$$.