7. Постройте график кусочно-заданной функции 0,5х + 1,5, если 5 <х < -1; у=х, если -1 < x < 1; -1, если 1 < x ≤ 5. По графику функции определите: а) ее область определения; б) наибольшее и наименьшее значения функции;

Решение:

Кусочно-заданная функция имеет вид:

$$ y =\begin{cases} 0.5x + 1.5, \text{ если } -5 \le x < -1 \\ -x, \text{ если } -1 \le x < 1 \\ -1, \text{ если } 1 < x \le 5 \end{cases} $$

a) Область определения функции - это множество всех допустимых значений x, при которых функция определена. В данном случае функция определена на промежутке от -5 до 5, включая -5 и 5.

Запишем область определения:

$$D(y) = [-5; 5]$$

б) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на каждом из промежутков:

1. На промежутке $$-5 \le x < -1$$ функция $$y = 0.5x + 1.5$$ является линейной, ее график - прямая линия. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения на этом промежутке, достаточно вычислить значения функции на концах промежутка:

• $$y(-5) = 0.5 \cdot (-5) + 1.5 = -2.5 + 1.5 = -1$$
• При $$x \to -1$$, $$y \to 0.5 \cdot (-1) + 1.5 = -0.5 + 1.5 = 1$$

2. На промежутке $$-1 \le x < 1$$ функция $$y = -x$$ также является линейной, ее график - прямая линия. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения на этом промежутке, достаточно вычислить значения функции на концах промежутка:

• $$y(-1) = -(-1) = 1$$
• При $$x \to 1$$, $$y \to -1$$

3. На промежутке $$1 < x \le 5$$ функция $$y = -1$$ является константой, поэтому ее значение на этом промежутке всегда равно -1.

Сравним значения функции на всех промежутках, чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на всей области определения:

• Наибольшее значение: 1
• Наименьшее значение: -1

График функции:

Ответ: a) $$D(y) = [-5; 5]$$, б) Наибольшее значение: 1; Наименьшее значение: -1