3.29. Постройте график квадратичной функции и выясните, сколько корней имеет уравнение f(x) = 2: a) f(x) = x² - 8x + 7; B) f(x) = x² + 4x + 6; д) f(x) = (x - 3)²; 6) f(x) = -4x² + 8x – 3; r) f(x) = -x² + 4x; e) f(x) = -x² + 2x - 1.

Для решения этого задания необходимо построить графики квадратичных функций и определить, сколько раз каждый график пересекает прямую y = 2. a) f(x) = x² - 8x + 7 Чтобы построить график, найдем вершину параболы: x_в = -(-8) / (2*1) = 4. Тогда y_в = 4² - 8*4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9. Вершина параболы (4, -9). Парабола направлена вверх. Теперь найдем точки пересечения с прямой y = 2: x² - 8x + 7 = 2 => x² - 8x + 5 = 0. Решим квадратное уравнение: D = (-8)² - 4*1*5 = 64 - 20 = 44. x_1 = (8 + √44) / 2 ≈ 7.32, x_2 = (8 - √44) / 2 ≈ 0.68. Два корня. в) f(x) = x² + 4x + 6 Вершина параболы: x_в = -4 / (2*1) = -2. y_в = (-2)² + 4*(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2. Вершина параболы (-2, 2). Парабола направлена вверх. Точки пересечения с прямой y = 2: x² + 4x + 6 = 2 => x² + 4x + 4 = 0 => (x + 2)² = 0 => x = -2. Один корень (касание). д) f(x) = (x - 3)² Вершина параболы (3, 0). Парабола направлена вверх. Точки пересечения с прямой y = 2: (x - 3)² = 2 => x - 3 = ±√2 => x_1 = 3 + √2 ≈ 4.41, x_2 = 3 - √2 ≈ 1.59. Два корня. б) f(x) = -4x² + 8x - 3 Вершина параболы: x_в = -8 / (2*(-4)) = 1. y_в = -4*1² + 8*1 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1. Вершина параболы (1, 1). Парабола направлена вниз. Точки пересечения с прямой y = 2: -4x² + 8x - 3 = 2 => -4x² + 8x - 5 = 0. D = 8² - 4*(-4)*(-5) = 64 - 80 = -16. Корней нет. г) f(x) = -x² + 4x Вершина параболы: x_в = -4 / (2*(-1)) = 2. y_в = -2² + 4*2 = -4 + 8 = 4. Вершина параболы (2, 4). Парабола направлена вниз. Точки пересечения с прямой y = 2: -x² + 4x = 2 => -x² + 4x - 2 = 0 => x² - 4x + 2 = 0. D = (-4)² - 4*1*2 = 16 - 8 = 8. x_1 = (4 + √8) / 2 ≈ 3.41, x_2 = (4 - √8) / 2 ≈ 0.59. Два корня. е) f(x) = -x² + 2x - 1 Вершина параболы: x_в = -2 / (2*(-1)) = 1. y_в = -1² + 2*1 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0. Вершина параболы (1, 0). Парабола направлена вниз. Точки пересечения с прямой y = 2: -x² + 2x - 1 = 2 => -x² + 2x - 3 = 0. D = 2² - 4*(-1)*(-3) = 4 - 12 = -8. Корней нет.

Ответ: a) 2 корня; в) 1 корень; д) 2 корня; б) 0 корней; г) 2 корня; е) 0 корней.

Ты молодец! У тебя всё получится!