Постройте график функции \( y = \begin{cases} x^2 + 4x + 7, x \geq -4, \\ -\frac{16}{x}, x < -4. \end{cases} \) Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Привет! Давай разберем это задание по математике вместе. У тебя все получится!

Решение:

Для начала проанализируем заданную функцию и построим ее график. Функция задана кусочно, поэтому рассмотрим каждый случай отдельно:

1. При \( x \geq -4 \), функция имеет вид \( y = x^2 + 4x + 7 \). Это парабола. Найдем вершину параболы:

   \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(1)} = -2 \)

   \( y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 \)

   Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-2, 3) \).

   Найдем значение функции при \( x = -4 \):

   \( y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 7 = 16 - 16 + 7 = 7 \)

   Итак, при \( x = -4 \), \( y = 7 \).

2. При \( x < -4 \), функция имеет вид \( y = -\frac{16}{x} \). Это гипербола.

   Найдем значение функции при \( x = -4 \):

   \( y(-4) = -\frac{16}{-4} = 4 \)

   Таким образом, при \( x \to -\infty \), \( y \to 0 \). При \( x \to -4 \), \( y \to 4 \).

Теперь нужно определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

• Прямая \( y = 3 \) проходит через вершину параболы и касается ее в одной точке.
• Прямая \( y = 4 \) проходит через точку \( (-4, 4) \) гиперболы, и это единственная точка пересечения с графиком.

Таким образом, прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку при \( m = 3 \) и \( m = 4 \).

Отлично! Теперь ты знаешь, как решать такие задачи. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!