1. Постройте графики функций: a) y = 3x-4; б) у = log₁ x + 3. 3 2. Решите уравнение 2x+5 – 2x= 62. 3. Решите неравенство ( 3x2-1 5 ) 13 > 9 25 . 4. Вычислите log₃ 81/3. 5. Решите уравнение 8.22x-1-28.2x-3=0,5. 6. Решите неравенство 9.6x + 8.18x > 54x.

Математика, 11 класс

Давай решим эти задания по порядку.

1. Построение графиков функций

a) y = 3^x - 4

Это экспоненциальная функция, смещенная на 4 единицы вниз. График будет выглядеть как обычная экспонента, но опущенная на 4 единицы по оси y.

б) y = log_⅓ x + 3

Это логарифмическая функция с основанием ⅓, смещенная на 3 единицы вверх. График будет логарифмическим, отраженным относительно оси x (так как основание меньше 1), и поднятым на 3 единицы по оси y.

2. Решение уравнения

2^x+5 - 2^x = 62

Сначала упростим уравнение:

2^x * 2⁵ - 2^x = 62

2^x * 32 - 2^x = 62

2^x * (32 - 1) = 62

2^x * 31 = 62

2^x = 2

x = 1

Ответ: x = 1

3. Решение неравенства

(\( \frac{3}{5} \))^{3x^2 - 1} \geq (\frac{9}{25})^{13}

Заметим, что \( \frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2 \). Тогда неравенство можно переписать как:

(\( \frac{3}{5} \))^{3x^2 - 1} \geq ((\frac{3}{5})^2)^{13}

(\( \frac{3}{5} \))^{3x^2 - 1} \geq (\frac{3}{5})^{26}

Так как основание меньше 1, при переходе к показателям знак неравенства меняется:

3x² - 1 ≤ 26

3x² ≤ 27

x² ≤ 9

-3 ≤ x ≤ 3

Ответ: -3 ≤ x ≤ 3

4. Вычисление логарифма

log₃ 81√3

Сначала упростим выражение под логарифмом:

81√3 = 3⁴ * 3^½ = 3^4.5

Тогда log₃ 3^4.5 = 4.5

Ответ: 4.5

5. Решение уравнения

8 * 2^2x-1 - 28 * 2^x-3 = 0.5

Преобразуем уравнение:

8 * (2^2x / 2) - 28 * (2^x / 8) = 0.5

4 * 2^2x - 3.5 * 2^x = 0.5

Умножим обе части на 2:

8 * 2^2x - 7 * 2^x - 1 = 0

Пусть y = 2^x, тогда уравнение примет вид:

8y² - 7y - 1 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 49 + 32 = 81

y₁ = (7 + 9) / 16 = 1

y₂ = (7 - 9) / 16 = -0.125

Так как 2^x не может быть отрицательным, y = 1.

2^x = 1

x = 0

Ответ: x = 0

6. Решение неравенства

9 * 6^x + 8 * 18^x > 54^x

Разделим обе части на 6^x:

9 + 8 * (18/6)^x > (54/6)^x

9 + 8 * 3^x > 9^x

Пусть y = 3^x, тогда неравенство примет вид:

9 + 8y > y²

y² - 8y - 9 < 0

(y - 9)(y + 1) < 0

-1 < y < 9

Так как 3^x всегда положительно, то 0 < 3^x < 9

3^x < 3²

x < 2

Ответ: x < 2