Постройте ломаные линии PQRST и UVW по координатам точек: P(-7; 3), Q(-2; 7), R(2; 2), S(4; −4), T(9; 0) и U(-6; −4), V(0; 6), W(9; 3). Найдите координаты точек пересечения ломаных PQRST и UVW.

Задача №2.

Чтобы построить ломаные линии PQRST и UVW, нужно отметить точки P, Q, R, S, T и U, V, W на координатной плоскости и соединить их отрезками в указанном порядке.

Найдём уравнения прямых, образующих ломаную PQRST:

1. Отрезок PQ:

P(-7; 3), Q(-2; 7)

$$k = (7 - 3) / (-2 - (-7)) = 4 / 5$$

$$y - 7 = 4/5(x - (-2)) ightarrow y - 7 = 4/5(x + 2)$$

$$y = 4/5 x + 8/5 + 7 = 4/5 x + 43/5$$

2. Отрезок QR:

Q(-2; 7), R(2; 2)

$$k = (2 - 7) / (2 - (-2)) = -5 / 4$$

$$y - 2 = -5/4(x - 2) ightarrow y = -5/4 x + 10/4 + 2 = -5/4 x + 19/2$$

3. Отрезок RS:

R(2; 2), S(4; -4)

$$k = (-4 - 2) / (4 - 2) = -6 / 2 = -3$$

$$y - 2 = -3(x - 2) ightarrow y = -3x + 6 + 2 = -3x + 8$$

4. Отрезок ST:

S(4; -4), T(9; 0)

$$k = (0 - (-4)) / (9 - 4) = 4 / 5$$

$$y - 0 = 4/5(x - 9) ightarrow y = 4/5 x - 36/5$$

Найдём уравнения прямых, образующих ломаную UVW:

1. Отрезок UV:

U(-6; -4), V(0; 6)

$$k = (6 - (-4)) / (0 - (-6)) = 10 / 6 = 5/3$$

$$y - 6 = 5/3(x - 0) ightarrow y = 5/3 x + 6$$

2. Отрезок VW:

V(0; 6), W(9; 3)

$$k = (3 - 6) / (9 - 0) = -3 / 9 = -1/3$$

$$y - 6 = -1/3(x - 0) ightarrow y = -1/3 x + 6$$

Найдем точки пересечения ломаных:

Сравним уравнения отрезков.

Пересечение PQ и UV:

$$4/5 x + 43/5 = 5/3 x + 6$$

$$4/5 x - 5/3 x = 6 - 43/5$$

$$(12 - 25)/15 x = (30 - 43)/5$$

$$-13/15 x = -13/5$$

$$x = (-13/5) imes (-15/13) = 3$$

$$y = 5/3 imes 3 + 6 = 5 + 6 = 11$$. Точка (3; 11). Проверим, входит ли $$x=3$$ в интервалы отрезков PQ [-7, -2] и UV [-6, 0]. Не входит.

Пересечение QR и UV:

$$-5/4 x + 19/2 = 5/3 x + 6$$

$$19/2 - 6 = 5/3 x + 5/4 x$$

$$7/2 = (20 + 15)/12 x$$

$$7/2 = 35/12 x$$

$$x = (7/2) imes (12/35) = (7 imes 12) / (2 imes 35) = 84 / 70 = 6/5 = 1.2$$

$$y = 5/3 imes (6/5) + 6 = 2 + 6 = 8$$. Точка (1.2; 8). Проверим, входит ли $$x=1.2$$ в интервалы отрезков QR [-2, 2] и UV [-6, 0]. Не входит.

Пересечение QR и VW:

$$-5/4 x + 19/2 = -1/3 x + 6$$

$$19/2 - 6 = -1/3 x + 5/4 x$$

$$7/2 = (-4 + 15)/12 x$$

$$7/2 = 11/12 x$$

$$x = (7/2) imes (12/11) = 84 / 22 = 42/11 ≈ 3.82$$

$$y = -1/3 imes (42/11) + 6 = -14/11 + 6 = (-14 + 66)/11 = 52/11 ≈ 4.73$$. Точка (3.82; 4.73). Проверим, входит ли $$x=3.82$$ в интервалы отрезков QR [-2, 2] и VW [0, 9]. Не входит.

Пересечение RS и VW:

$$-3x + 8 = -1/3 x + 6$$

$$8 - 6 = -1/3 x + 3x$$

$$2 = (-1 + 9)/3 x$$

$$2 = 8/3 x$$

$$x = 2 imes (3/8) = 6/8 = 3/4 = 0.75$$

$$y = -3 imes (0.75) + 8 = -2.25 + 8 = 5.75$$. Точка (0.75; 5.75). Проверим, входит ли $$x=0.75$$ в интервалы отрезков RS [2, 4] и VW [0, 9]. Не входит.

Пересечение ST и VW:

$$4/5 x - 36/5 = -1/3 x + 6$$

$$4/5 x + 1/3 x = 6 + 36/5$$

$$(12 + 5)/15 x = (30 + 36)/5$$

$$17/15 x = 66/5$$

$$x = (66/5) imes (15/17) = (66 imes 3) / 17 = 198/17 ≈ 11.65$$

$$y = -1/3 imes (198/17) + 6 = -66/17 + 6 = (-66 + 102)/17 = 36/17 ≈ 2.12$$. Точка (11.65; 2.12). Проверим, входит ли $$x=11.65$$ в интервалы отрезков ST [4, 9] и VW [0, 9]. Не входит.

Пересечение PQ и UV:

$$4/5 x + 43/5 = 5/3 x + 6$$

$$4/5 x - 5/3 x = 6 - 43/5$$

$$(12 - 25)/15 x = (30 - 43)/5$$

$$-13/15 x = -13/5$$

$$x = (-13/5) imes (-15/13) = 3$$

$$y = 5/3 imes 3 + 6 = 5 + 6 = 11$$. Точка (3; 11). Проверим, входит ли $$x=3$$ в интервалы отрезков PQ [-7, -2] и UV [-6, 0]. Не входит.

Пересечение QR и UV:

$$-5/4 x + 19/2 = 5/3 x + 6$$

$$19/2 - 6 = 5/3 x + 5/4 x$$

$$7/2 = (20 + 15)/12 x$$

$$7/2 = 35/12 x$$

$$x = (7/2) imes (12/35) = (7 imes 12) / (2 imes 35) = 84 / 70 = 6/5 = 1.2$$

$$y = 5/3 imes (6/5) + 6 = 2 + 6 = 8$$. Точка (1.2; 8). Проверим, входит ли $$x=1.2$$ в интервалы отрезков QR [-2, 2] и UV [-6, 0]. Не входит.

Пересечение RS и UV:

$$-3x + 8 = 5/3 x + 6$$

$$8 - 6 = 5/3 x + 3x$$

$$2 = (5 + 9)/3 x$$

$$2 = 14/3 x$$

$$x = 2 imes (3/14) = 6/14 = 3/7 ≈ 0.43$$

$$y = -3 imes (3/7) + 8 = -9/7 + 8 = (-9 + 56)/7 = 47/7 ≈ 6.71$$. Точка (0.43; 6.71). Проверим, входит ли $$x=0.43$$ в интервалы отрезков RS [2, 4] и UV [-6, 0]. Не входит.

Пересечение RS и VW:

$$-3x + 8 = -1/3 x + 6$$

$$8 - 6 = -1/3 x + 3x$$

$$2 = (-1 + 9)/3 x$$

$$2 = 8/3 x$$

$$x = 2 imes (3/8) = 6/8 = 3/4 = 0.75$$

$$y = -3 imes (0.75) + 8 = -2.25 + 8 = 5.75$$. Точка (0.75; 5.75). Проверим, входит ли $$x=0.75$$ в интервалы отрезков RS [2, 4] и VW [0, 9]. Не входит.

Пересечение ST и UV:

$$4/5 x - 36/5 = 5/3 x + 6$$

$$4/5 x - 5/3 x = 6 + 36/5$$

$$(12 - 25)/15 x = (30 + 36)/5$$

$$-13/15 x = 66/5$$

$$x = (66/5) imes (-15/13) = (66 imes -3) / 13 = -198/13 ≈ -15.23$$. Точка (-15.23; y). Не входит в интервалы.

Пересечение ST и VW:

$$4/5 x - 36/5 = -1/3 x + 6$$

$$4/5 x + 1/3 x = 6 + 36/5$$

$$(12 + 5)/15 x = (30 + 36)/5$$

$$17/15 x = 66/5$$

$$x = (66/5) imes (15/17) = (66 imes 3) / 17 = 198/17 ≈ 11.65$$. Точка (11.65; y). Не входит в интервалы.

Ответ: Ломаные линии PQRST и UVW не пересекаются.