Постройте ΔMPH, если MP = h, PH = m; HM = p.

Построение треугольника по трем сторонам (h, m, p)

1. Построение отрезка: Сначала построим отрезок MP длиной h.

2. Построение окружностей:

• Из точки M проведем окружность радиусом, равным длине стороны m (PH = m, но в условии дано HM = p, поэтому для точки H используем длину p).
• Из точки P проведем окружность радиусом, равным длине стороны h (MP = h, но в условии дано PH = m, поэтому для точки H используем длину m).

3. Нахождение вершины H: Точка H будет одной из точек пересечения этих двух окружностей. Обозначим одну из них как H.

4. Завершение построения: Соединим точки M, P и H отрезками. Получим искомый треугольник ΔMPH.

Проверка:

Действительно, MP = h, MH = p, PH = m. Точки H и H₁ (вторая точка пересечения окружностей) лежат на окружности с центром в точке M радиуса p и на окружности с центром в точке P радиуса m.

ΔMPH и ΔMPH₁ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Поэтому говорят, что задача имеет два решения (если H и H₁ различны).

Условие существования треугольника

Всегда ли можно построить треугольник с данными сторонами?

Нет. Чтобы треугольник можно было построить, по теореме о неравенстве треугольника должно выполняться неравенство: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Следовательно, если неравенство m < p + h (или любое другое из трех подобных неравенств) не выполняется, треугольник построить нельзя.