Постройте на координатной плоскости а) точки М, F, Е, К, если М(-3; 0), F(4; 6), E(0; -4); K(-3; 5). б) Определите координату точки пересечения прямых MF и KE.

Решение:

а) Построение точек:

Точки наносятся на координатную плоскость согласно их координатам.

б) Нахождение точки пересечения прямых MF и KE:

1. Найдём уравнение прямой MF.

Точки M(-3; 0) и F(4; 6).

Угловой коэффициент \( k_{MF} = \frac{6 - 0}{4 - (-3)} = \frac{6}{7} \).

Уравнение прямой имеет вид \( y - y_1 = k(x - x_1) \).

Используем точку M(-3; 0): \( y - 0 = \frac{6}{7}(x - (-3)) \) \( y = \frac{6}{7}(x + 3) \) \( y = \frac{6}{7}x + \frac{18}{7} \).

2. Найдём уравнение прямой KE.

Точки K(-3; 5) и E(0; -4).

Угловой коэффициент \( k_{KE} = \frac{-4 - 5}{0 - (-3)} = \frac{-9}{3} = -3 \).

Уравнение прямой имеет вид \( y - y_1 = k(x - x_1) \).

Используем точку E(0; -4): \( y - (-4) = -3(x - 0) \) \( y + 4 = -3x \) \( y = -3x - 4 \).

3. Найдём точку пересечения прямых MF и KE.

Приравняем уравнения прямых:

\[ \frac{6}{7}x + \frac{18}{7} = -3x - 4 \]

Умножим обе части на 7, чтобы избавиться от дробей:

\[ 6x + 18 = -21x - 28 \]

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 6x + 21x = -28 - 18 \]

\( 27x = -46 \)

\( x = -\frac{46}{27} \)

Подставим значение \( x \) в уравнение прямой KE, чтобы найти \( y \):

\[ y = -3 \left(-\frac{46}{27}\right) - 4 \]

\( y = \frac{3 \cdot 46}{27} - 4 \) \( y = \frac{46}{9} - 4 \) \( y = \frac{46 - 36}{9} = \frac{10}{9} \)

Ответ: а) Точки построены на координатной плоскости. б) Координаты точки пересечения прямых MF и KE: \( \left(-\frac{46}{27}; \frac{10}{9}\right) \).