1. Постройте окружность, заданную уравнением (х – 1)² + y² = 4. 2. Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; -6), проходящей через точку В (3; -2). 3. Даны координаты вершин треугольника АВС: A (4; 6), B (-4; 0), C (-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ. 4. Точка B - середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых верно равенство АМ² + 2BM2 + 3CM2 = 4.

1. Уравнение окружности имеет вид $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где (a, b) – координаты центра окружности, R – радиус окружности. В данном случае, уравнение окружности $$(x - 1)^2 + y^2 = 4$$. Следовательно, центр окружности находится в точке (1, 0), а радиус равен $$\sqrt{4} = 2$$. 2. Уравнение окружности с центром в точке A(0, -6) имеет вид $$(x - 0)^2 + (y + 6)^2 = R^2$$, или $$x^2 + (y + 6)^2 = R^2$$. Так как окружность проходит через точку B(3, -2), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности: $$(3)^2 + (-2 + 6)^2 = R^2$$, $$9 + 16 = R^2$$, $$R^2 = 25$$. Следовательно, уравнение окружности: $$x^2 + (y + 6)^2 = 25$$. 3. Найдем координаты точки M – середины отрезка AB. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат концов: $$M_x = \frac{A_x + B_x}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = 0$$, $$M_y = \frac{A_y + B_y}{2} = \frac{6 + 0}{2} = 3$$. Итак, M(0, 3). Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки C(-1, -4) и M(0, 3). Общий вид уравнения прямой: $$y = kx + b$$. Подставим координаты точек C и M в это уравнение. Для точки C: $$-4 = k \cdot (-1) + b$$, $$-4 = -k + b$$. Для точки M: $$3 = k \cdot 0 + b$$, $$b = 3$$. Подставим b = 3 в первое уравнение: $$-4 = -k + 3$$, $$k = 7$$. Следовательно, уравнение прямой CM: $$y = 7x + 3$$. 4. Так как B – середина отрезка AC, то $$A + C = 2B$$. Пусть M(x, y). Условие $$AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4$$ можно переписать в координатах: $$(x - A_x)^2 + (y - A_y)^2 + 2((x - B_x)^2 + (y - B_y)^2) + 3((x - C_x)^2 + (y - C_y)^2) = 4$$. Заменим $$A + C = 2B$$. Векторно: $$\vec{AM} + 2\vec{BM} + 3\vec{CM} = 4$$. Заменим $$\vec{AC} = 2 \vec{AB}$$, или $$C - A = 2(B - A)$$, или $$C = 2B - A$$. Тогда $$\vec{AM} + 2\vec{BM} + 3(\vec{M} - \vec{C}) = 4$$, $$\vec{AM} + 2\vec{BM} + 3\vec{CM} = \vec{0}$$. Пусть G – такая точка, что $$\vec{AG} = \frac{2\vec{AB}}{6}$$. Тогда $$\vec{MG} = \vec{MA} + \vec{AG} = \vec{MA} + \frac{1}{3} \vec{AB}$$. $$|\vec{AM}|^2 + 2 |\vec{BM}|^2 + 3 |\vec{CM}|^2 = 4$$. Так как $$A + C = 2B$$, то $$C = 2B - A$$. $$|\vec{MA}|^2 + 2 |\vec{MB}|^2 + 3 |\vec{M(2B - A)}|^2 = 4$$. Центр масс системы точек A, B, C находится в точке, для которой выполняется условие: $$\vec{MA} + 2\vec{MB} + 3\vec{MC} = 0$$. Пусть G – центр масс. $$|\vec{MA}|^2 + 2 |\vec{MB}|^2 + 3 |\vec{MC}|^2 = |\vec{GA}|^2 + 2|\vec{GB}|^2 + 3|\vec{GC}|^2 + 6|\vec{MG}|^2$$. Тогда $$|\vec{GA}|^2 + 2|\vec{GB}|^2 + 3|\vec{GC}|^2 + 6|\vec{MG}|^2 = 4$$. Т.к. |AC| = 2, то |AB| = 1 и |BC| = 1. Координаты точки G = (x, y), то $$x = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot (-4) + 3 \cdot (-1)}{1 + 2 + 3} = \frac{4 - 8 - 3}{6} = -\frac{7}{6}$$. $$y = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-4)}{6} = \frac{6 - 12}{6} = -1$$. Т.е. G(-7/6, -1). Получаем, что $$|GA|^2 + 2|GB|^2 + 3|GC|^2 + 6|MG|^2 = 4$$. $$6|MG|^2 = 4 - (|GA|^2 + 2|GB|^2 + 3|GC|^2)$$. Получаем, что MG = const. Следовательно, искомое множество – окружность с центром в G и радиусом R.