Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, CD и AA₁. Найдите периметр сечения, если AB = 10 см, AD = 17 см, AA₁ = 24 см.

Обозначим середины рёбер AB, CD и AA₁ соответственно через M, N и P.

1. В грани ABCD отрезок MN соединяет середины противоположных рёбер AB и CD, поэтому MN ∥ AD и MN = AD = 17 см.
2. В грани ABB₁A₁ отрезок MP соединяет середины AB и AA₁. Эта грань — прямоугольник со сторонами 10 и 24 см, поэтому MP = √(5² + 12²) = 13 см.
3. Плоскость пересекает грань ADD₁A₁ по отрезку PQ, где Q — середина A₁D₁. Действительно, в этой грани PQ ∥ AD, а P лежит на AA₁; следовательно, Q — середина A₁D₁. Тогда PQ = AD = 17 см.
4. В грани CDD₁C₁ отрезок NQ соединяет середины CD и D₁A₁? Эти рёбра не принадлежат одной грани, поэтому вместо такого отрезка проследим пересечение плоскости: из симметрии относительно центра параллелепипеда плоскость также проходит через середину BB₁, обозначим её R. В грани BCC₁B₁ отрезок RN параллелен MP и равен ему, то есть 13 см.

Полученное сечение — параллелограмм MNRP: его стороны равны 17 см и 13 см. (Точки идут по контуру M–N–R–P; P и R — середины AA₁ и BB₁.)

Периметр: P = 2(17 + 13) = 60 см.

Ответ: 60 см.