Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки: 1) три отмеченные точки на трёх рёбрах; 2) три отмеченные точки на трёх рёбрах; 3) K, F, E — середины сторон DC, AB, BC соответственно; 4) три отмеченные точки на трёх рёбрах; 5) F ∈ (ABC); 6) F ∈ (ADC), E ∈ (ABC).

На рисунках 1, 2 и 4 не подписаны вершины тетраэдра, поэтому далее называю вершины по их положению: верхняя — D, левая — A, правая — C, нижняя — B. Сечение строится так: в каждой грани, содержащей две заданные точки или уже найденные точки пересечения с рёбрами, проводим отрезок; на общей стороне соседних граней точки пересечения совпадают.

1) Обозначим точки на рёбрах AD, DC и DB через P, Q и R. В грани ADC проводим PQ; в грани ADB — PR. В грани DBC соединяем Q и R. Сечение — треугольник PQR.

2) Обозначим точки на рёбрах AD, DC и DB через P, Q и R. В гранях ADC и ADB проводим PQ и PR. Прямая пересечения плоскости с гранью ABC должна проходить через точку пересечения PR-продолженной плоскости с AB и точку пересечения PQ-продолженной плоскости с AC; однако эти точки зависят от положения P, Q и R. На изображении точки заданы на рёбрах AD, DC и BC (а не DB): обозначим их P, Q и R соответственно. Тогда в грани DBC проводим QR. Продолжения PQ и QR пересекают грани ABC по её рёбрам AC и BC, а линия сечения закрывается отрезком между соответствующими точками на AC и AB. Получается четырёхугольник.

Для точного проведения последней стороны во втором пункте нужны однозначно распознаваемые рёбра, на которых отмечены точки: на фото подписи вершин отсутствуют. Схема показывает тип сечения при принятой нумерации.

3) Точки K, F, E — середины DC, AB, BC. В грани DBC соединяем K и E; в грани ABC соединяем E и F; в грани ABD соединяем F и середину AD. Эта последняя точка является серединой AD, поскольку сечение плоскости, проходящей через середины трёх рёбер, также пересекает четвёртое ребро в его середине. Получаем четырёхугольник с вершинами K, E, F и серединой AD.

4) Отмеченные точки лежат на рёбрах DC, AC и DB. Обозначим их P, Q и R соответственно. В грани ADC проводим PQ, в грани DBC — PR. В грани ABC линия сечения проходит через точку Q и точку пересечения плоскости с ребром AB; последняя определяется продолжением прямых сечения соседних граней. Сечение — четырёхугольник, сторонами которого являются отрезки PQ, PR и линии в гранях ABC и ABD.

На изображении положение некоторых отмеченных точек относительно рёбер и их точные обозначения не подписаны; чертёж дан схематически, без заданных числовых параметров. Поэтому построить единственную точную конфигурацию для пунктов 2 и 4 по этому фото нельзя.

5) Достаточно указано только, что F принадлежит грани (ABC). Само положение F на грани не задано, поэтому однозначное сечение определить нельзя. Чтобы построить сечение, нужны дополнительные точки плоскости либо дополнительные условия о положении F.

6) Плоскость проходит через F на грани ADC и E на грани ABC. Двух точек недостаточно для однозначного задания плоскости, а положение точек на гранях не уточнено численно. Нужна третья точка плоскости или дополнительное условие.

Ответ: пункты 1 и 3 построены по данным рисунка; для однозначного решения пунктов 2, 4, 5 и 6 нужны уточнённые данные о точках и их положении на гранях/рёбрах.