2. Постройте треугольник ABC и отметьте на стороне AB точку O так, чтобы отрезки AO и OB были равны. Через точку O проведите прямую OK, параллельную стороне AC, где K – точка пересечения прямых OK и BC. Сравните: a) градусную меру углов ∠BOK и ∠BAC; б) длины отрезков BK и KC.

Для решения этой задачи потребуется построение и знание свойств параллельных прямых и подобных треугольников.

а) Сравнение градусных мер углов ∠BOK и ∠BAC:

По условию, прямая OK параллельна стороне AC треугольника ABC. ∠BOK и ∠BAC являются соответственными углами при параллельных прямых OK и AC и секущей AB.

Соответственные углы при параллельных прямых равны. Следовательно,
$$∠BOK = ∠BAC$$

б) Сравнение длин отрезков BK и KC:

Так как OK || AC, то треугольники BOK и BAC подобны по двум углам (∠B - общий, ∠BOK = ∠BAC как соответственные).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
$$\frac{BO}{BA} = \frac{BK}{BC}$$

По условию, AO = OB, следовательно, BO = 1/2 * BA. Подставим это в пропорцию:
$$\frac{\frac{1}{2}BA}{BA} = \frac{BK}{BC}$$
$$\frac{1}{2} = \frac{BK}{BC}$$

Отсюда следует, что BK = 1/2 * BC, то есть BK составляет половину отрезка BC.
Так как BC = BK + KC, то KC = BC - BK = BC - 1/2 * BC = 1/2 * BC.

Следовательно, BK = KC.

Ответ:
а) ∠BOK = ∠BAC
б) BK = KC