Постройте треугольник ABC с вершинами A(3; 5), B(3; −2), C(−5; −2). а) Убедитесь, по рисунку, что он прямоугольный, назовите перпендикулярные отрезки. б) Соедините отрезками середины K, M и N сторон AC, BC и AB. Проверьте, что длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника ABC.

Шаг 1. Наносим вершины A(3; 5), B(3; −2), C(−5; −2) и соединяем их. У A и B одинаковая абсцисса, поэтому AB вертикален; у B и C одинаковая ордината, поэтому BC горизонтален. Следовательно, AB ⟂ BC и угол ABC прямой.

Шаг 2. Находим середины сторон по формуле середины отрезка:

• K — середина AC: K((3 + (−5))/2; (5 + (−2))/2) = K(−1; 1.5).
• M — середина BC: M((3 + (−5))/2; (−2 + (−2))/2) = M(−1; −2).
• N — середина AB: N((3 + 3)/2; (5 + (−2))/2) = N(3; 1.5).

Шаг 3. Соединяем K, M и N. По теореме о средней линии треугольника KM ∥ AB, MN ∥ AC, NK ∥ BC; каждая сторона треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны.

Шаг 4. Проверяем длины: AB = 7, BC = 8, AC = √(8² + 7²) = √113. Значит, KM = 3.5 = AB/2, NK = 4 = BC/2, MN = √113/2 = AC/2. Отношение соответствующих сторон KMN к ABC равно 1/2.

Ответ: треугольник ABC прямоугольный, AB ⟂ BC; K(−1; 1.5), M(−1; −2), N(3; 1.5). Стороны KMN вдвое меньше соответствующих сторон ABC, то есть пропорциональны с коэффициентом 1/2.