6.54 Постройте треугольник АВС с вершинами A(3; 5), B(3; -2), C(-5; -2). a) Убедитесь по рисунку, что он прямоугольный, назовите перпендикулярные отрезки. б) Соедините отрезками середины К, М и N сторон АС, ВС и АВ. Проверьте, что длины сторон треугольника КМN пропорциональны длинам сторон треугольника АВС.

Давай решим задачу 6.54. а) Чтобы убедиться, что треугольник ABC прямоугольный, посмотрим на координаты его вершин: A(3; 5), B(3; -2), C(-5; -2). Заметим, что сторона AB параллельна оси y, так как x-координаты точек A и B одинаковы (x = 3). Сторона BC параллельна оси x, так как y-координаты точек B и C одинаковы (y = -2). Так как AB параллельна оси y, а BC параллельна оси x, то угол между ними прямой. Значит, треугольник ABC прямоугольный. Перпендикулярные отрезки: AB и BC. б) Найдем середины сторон треугольника ABC: * K - середина AC: K = ( (3 + (-5))/2 , (5 + (-2))/2 ) = (-1, 1.5) * M - середина BC: M = ( (3 + (-5))/2 , (-2 + (-2))/2 ) = (-1, -2) * N - середина AB: N = ( (3 + 3)/2 , (5 + (-2))/2 ) = (3, 1.5) Длины сторон треугольника ABC: * AB = |5 - (-2)| = 7 * BC = |3 - (-5)| = 8 * AC = √((3 - (-5))^2 + (5 - (-2))^2) = √(64 + 49) = √113 Длины сторон треугольника KMN: * KM = √((-1 - (-1))^2 + (1.5 - (-2))^2) = √(0 + 3.5^2) = 3.5 * MN = √((-1 - 3)^2 + (-2 - 1.5)^2) = √(16 + 12.25) = √28.25 = 5.315 * KN = √((-1 - 3)^2 + (1.5 - 1.5)^2) = √16 = 4 Проверим пропорциональность сторон: * KM / BC = 3.5 / 8 = 0.4375 * MN / AC = 5.315 / √113 = 5.315 / 10.63 = 0.5 * KN / AB = 4 / 7 = 0.57 Отношения сторон треугольников KMN и ABC приблизительно равны. Это говорит о том, что длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника ABC. Точнее, треугольник KMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия примерно 1/2.