Постройте треугольник по координатам его вершин: A(-6; 1), B(-6; -4), C(-1,5; -1,5). Какого вида этот треугольник по углам и по сторонам? Построй треугольник, симметричный этому треугольнику относительно оси ординат и запиши координаты его вершин.

Решение:

1. Построение треугольника:

   Точки A(-6; 1), B(-6; -4), C(-1.5; -1.5) образуют треугольник.

2. Определение вида треугольника:

   Вычислим длины сторон:

   • AB: Так как x-координаты точек A и B одинаковы (-6), сторона AB вертикальна. Длина AB = |1 - (-4)| = |1 + 4| = 5.
   • AC: Используем формулу расстояния между двумя точками: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
     \( AC = \sqrt{(-1.5 - (-6))^2 + (-1.5 - 1)^2} = \sqrt{(-1.5 + 6)^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{(4.5)^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{20.25 + 6.25} = \sqrt{26.5} \)
   • BC: Используем формулу расстояния между двумя точками:
     \( BC = \sqrt{(-1.5 - (-6))^2 + (-1.5 - (-4))^2} = \sqrt{(-1.5 + 6)^2 + (-1.5 + 4)^2} = \sqrt{(4.5)^2 + (2.5)^2} = \sqrt{20.25 + 6.25} = \sqrt{26.5} \)

   Так как AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным.

   Теперь проверим углы. Сторона AB вертикальна (x = -6). Найдем угол наклона стороны AC. Тангенс угла наклона \( m_{AC} = \frac{-1.5 - 1}{-1.5 - (-6)} = \frac{-2.5}{4.5} = -\frac{25}{45} = -\frac{5}{9} \). Тангенс угла наклона \( m_{BC} = \frac{-1.5 - (-4)}{-1.5 - (-6)} = \frac{2.5}{4.5} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9} \).

   Так как тангенсы углов наклона AC и BC не являются противоположными по знаку (или их произведение не равно -1), прямой угол не очевиден. Однако, поскольку AB вертикальна, и AC и BC имеют одинаковую длину, основанием является AB.

   Угол при вершине C: \( \cos(C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 imes AC imes BC} = \frac{26.5 + 26.5 - 5^2}{2 imes \sqrt{26.5} imes \sqrt{26.5}} = \frac{53 - 25}{2 imes 26.5} = \frac{28}{53} \) \( \approx 0.528 \) \( \Rightarrow C \approx 58.1^{\circ} \)

   Углы при основании A и B: \( \cos(A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 imes AB imes AC} = \frac{5^2 + 26.5 - 26.5}{2 imes 5 imes \sqrt{26.5}} = \frac{25}{10 \sqrt{26.5}} = \frac{2.5}{\sqrt{26.5}} \) \( \approx 0.485 \) \( \Rightarrow A \approx 61.0^{\circ} \). Так как A=B, это подтверждает, что треугольник равнобедренный.

   Все углы меньше 90 градусов. Треугольник остроугольный.

3. Построение симметричного треугольника:

   Симметричный треугольник относительно оси ординат (оси Y) будет иметь координаты, где x-координаты изменены на противоположные, а y-координаты остаются прежними.

   • A': (-(-6); 1) = (6; 1)
   • B': (-(-6); -4) = (6; -4)
   • C': (-(-1.5); -1.5) = (1.5; -1.5)
4. Координаты вершин симметричного треугольника:
   • A'(6; 1)
   • B'(6; -4)
   • C'(1.5; -1.5)

Ответ: Треугольник ABC является остроугольным равнобедренным треугольником. Координаты симметричного треугольника: A'(6; 1), B'(6; -4), C'(1.5; -1.5).