1129. Постройте в одной системе координат графики функции y = √x и y = x. а) Укажите координаты их общих точек. б) При каких значениях х график функции y = √x расположен выше прямой y = x и при каких значениях х расположен ниже этой прямой?

Решение:

Логика такая: сначала построим графики функций, потом найдем точки пересечения и определим, где какая функция выше или ниже.

• a) Координаты общих точек графиков функций \(y = \sqrt{x}\) и \(y = x\) можно найти, решив уравнение \(\sqrt{x} = x\). Возведем обе части в квадрат:

\[x = x^2\]\[x^2 - x = 0\]\[x(x - 1) = 0\]

Отсюда получаем два решения: \(x = 0\) и \(x = 1\). Подставим эти значения в любое из уравнений, чтобы найти соответствующие значения \(y\):

• Если \(x = 0\), то \(y = \sqrt{0} = 0\).
• Если \(x = 1\), то \(y = \sqrt{1} = 1\).

Таким образом, координаты общих точек: \((0, 0)\) и \((1, 1)\).

• б) Чтобы определить, при каких значениях \(x\) график функции \(y = \sqrt{x}\) расположен выше прямой \(y = x\), нужно сравнить значения функций на различных интервалах. Рассмотрим интервал \((0, 1)\):

Пусть \(x = 0.25\), тогда \(y = \sqrt{0.25} = 0.5\), а для прямой \(y = 0.25\). Видим, что \(\sqrt{x} > x\) на этом интервале.

Теперь рассмотрим интервал \((1, +\infty)\):

Пусть \(x = 4\), тогда \(y = \sqrt{4} = 2\), а для прямой \(y = 4\). Видим, что \(\sqrt{x} < x\) на этом интервале.

Вывод:

• График функции \(y = \sqrt{x}\) расположен выше прямой \(y = x\) при \(0 < x < 1\).
• График функции \(y = \sqrt{x}\) расположен ниже прямой \(y = x\) при \(x > 1\).