Постройте в одной системе координат графики функций $$y = \sqrt{x}$$ и $$y = -0,5x + 4$$ и определите координаты точки их пересечения. Абсцисса точки пересечения:

Решение:

Для нахождения точки пересечения графиков функций \( y = \sqrt{x} \) и \( y = -0,5x + 4 \), приравняем их правые части:

\[ \sqrt{x} = -0,5x + 4 \]

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ x = (-0,5x + 4)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ x = 0,25x^2 - 4x + 16 \]

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 0,25x^2 - 4x - x + 16 = 0 \] \[ 0,25x^2 - 5x + 16 = 0 \]

Умножим на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[ x^2 - 20x + 64 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Проверим найденные значения в исходном уравнении \( \sqrt{x} = -0,5x + 4 \):

Для \( x = 16 \):

\( \sqrt{16} = 4 \) \( -0,5 \cdot 16 + 4 = -8 + 4 = -4 \)

\( 4 \neq -4 \), значит \( x=16 \) — посторонний корень.

Для \( x = 4 \):

\( \sqrt{4} = 2 \) \( -0,5 \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2 \)

\( 2 = 2 \), значит \( x=4 \) — корень уравнения.

Теперь найдем ординату точки пересечения, подставив \( x=4 \) в любое из исходных уравнений. Возьмем \( y = \sqrt{x} \):

\[ y = \sqrt{4} = 2 \]

Таким образом, точка пересечения имеет координаты \( (4, 2) \).

Ответ: 4