Постройте в одной системе координат графики функций y = √x и y = 2х. Найдите координаты их общих точек.

Решение:

Чтобы найти общие точки графиков функций y = √x и y = 2x, нужно приравнять их выражения и решить получившееся уравнение:

• √x = 2x

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

• (√x)² = (2x)²
• x = 4x²

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

• 4x² - x = 0

Вынесем общий множитель x за скобки:

• x(4x - 1) = 0

Из этого уравнения получаем два возможных значения для x:

• x = 0
• 4x - 1 = 0 => 4x = 1 => x = 1/4

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные значения x в любое из исходных уравнений (например, y = 2x):

• Если x = 0, то y = 2 * 0 = 0. Первая общая точка: (0; 0).
• Если x = 1/4, то y = 2 * (1/4) = 1/2. Вторая общая точка: (1/4; 1/2).

Примечание: График функции y = √x существует только для неотрицательных значений x. Проверка корней: при x=0, √0 = 0 и 2*0 = 0. При x=1/4, √1/4 = 1/2 и 2*(1/4) = 1/2. Оба корня подходят.

Ответ: (0; 0) и (1/4; 1/2)