1. Постройте векторы \(\frac{1}{3}\)\(\vec{a}\) + 2\(\vec{b}\); 1,5\(\vec{b}\) - \(\vec{a}\). 2. ABCD - параллелограмм. M – середина BC, точка N лежит на стороне CD, CN: ND = 1:3, 0 – точка пересечения диагоналей параллелограмма. AB = \(\vec{x}\), BC = \(\vec{y}\). Выразите через \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) векторы CA, OB, MD, ON. 3. В треугольнике ABC точки A₁ и B₁ – середины сторон BC и AC соответственно. 0 - точка пересечения AA₁ и BB₁. Сторона AC в два раза больше стороны BC, CK – биссектриса треугольника. AB = \(\vec{a}\), CB = \(\vec{b}\). Выразите через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) векторы AC, A₁A, OB₁, OK. 4. В трапеции ABCD диагональ CB перпендикулярна основанию AD. AC = 12, BC = 9, AD = 16. Найдите боковые стороны трапеции, её периметр, площадь и вторую диагональ. 5. Докажите, что ABC – равнобедренный треугольник, найдите его периметр и площадь. Найдите его медиану AA₁. A(-3;-2), B(2; 1), C(-2; 2).

Привет! Давай решим эти задачи по геометрии и алгебре по порядку.

1. Построение векторов

К сожалению, я не могу построить векторы визуально. Но я объясню, как это сделать.

• \(\frac{1}{3}\)\(\vec{a}\) + 2\(\vec{b}\): Уменьши вектор \(\vec{a}\) в три раза и сложи с вектором \(2\vec{b}\), который в два раза больше вектора \(\vec{b}\).
• 1,5\(\vec{b}\) - \(\vec{a}\): Увеличь вектор \(\vec{b}\) в полтора раза и вычти из него вектор \(\vec{a}\).

2. Параллелограмм ABCD

Пусть ABCD - параллелограмм, M - середина BC, N лежит на CD, CN:ND = 1:3, O - точка пересечения диагоналей, AB = \(\vec{x}\), BC = \(\vec{y}\). Выразим векторы CA, OB, MD, ON через \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\).

• \(\vec{CA} = -(\vec{x} + \vec{y})\)
• \(\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{DB} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})\)
• \(\vec{MD} = \vec{MC} + \vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{y} - \vec{x}\)
• \(\vec{ON} = \vec{OC} + \vec{CN} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) + \frac{1}{4}\vec{x} - \frac{1}{4}\vec{y} = \frac{3}{4}\vec{x} + \frac{1}{4}\vec{y}\)

3. Треугольник ABC

В треугольнике ABC точки A₁ и B₁ — середины сторон BC и AC, O — точка пересечения AA₁ и BB₁, AB = \(\vec{a}\), CB = \(\vec{b}\). Выразим векторы AC, A₁A, OB₁, OK через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

• \(\vec{AC} = -\vec{CA} = \vec{a} + \vec{b}\)
• \(\vec{A_1A} = \vec{A_1B} + \vec{BA} = -\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\)
• \(\vec{OB_1} = \vec{OC} + \vec{CB_1} = \vec{b} + \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}\)

Чтобы найти \(\vec{OK}\), нужно знать положение точки K. Без этой информации я не могу это сделать.

4. Трапеция ABCD

В трапеции ABCD диагональ CB перпендикулярна основанию AD, AC = 12, BC = 9, AD = 16. Найдем боковые стороны трапеции, её периметр, площадь и вторую диагональ.

• Проведем высоту CH к AD. Тогда AH = AD - BC = 16 - 9 = 7.
• Из прямоугольного треугольника ACH: \(CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{144 - 49} = \sqrt{95}\).
• Боковая сторона CD = \(\sqrt{CH^2 + HD^2}\), где HD = AD - AH = 16 - 7 = 9.
• CD = \(\sqrt{95 + 81} = \sqrt{176} = 4\sqrt{11}\).
• Боковая сторона AB = \(\sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{144 - 81} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}\).
• Периметр трапеции: P = AB + BC + CD + AD = \(3\sqrt{7} + 9 + 4\sqrt{11} + 16 = 25 + 3\sqrt{7} + 4\sqrt{11}\).
• Площадь трапеции: S = \(\frac{1}{2}\)(BC + AD) * CH = \(\frac{1}{2}\)(9 + 16) * \sqrt{95} = \frac{25}{2}\sqrt{95}\).
• Вторая диагональ BD = \(\sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{81 + 176} = \sqrt{257}\).

5. Треугольник ABC

Докажем, что ABC — равнобедренный треугольник, найдем его периметр и площадь, найдем медиану AA₁ при A(-3; -2), B(2; 1), C(-2; 2).

• \(AB = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\)
• \(BC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\)
• \(AC = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\)

Так как BC = AC, треугольник ABC — равнобедренный.

• Периметр: P = \(\sqrt{34} + \sqrt{17} + \sqrt{17} = \sqrt{34} + 2\sqrt{17}\).
• Площадь: Используем формулу Герона, где p = P/2.

\[ s = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

В нашем случае проще найти высоту. Высота из B на AC делит AC пополам.

• Координаты середины AC (точка D): ((-3 - 2)/2; (-2 + 2)/2) = (-2.5; 0).
• Высота BD = \(\sqrt{(2 - (-2.5))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{20.25 + 1} = \sqrt{21.25}\)
• Площадь S = \(\frac{1}{2}\) * AC * BD = \(\frac{1}{2}\) * \(\sqrt{17}\) * \(\sqrt{21.25}\) = \(\frac{1}{2}\) * \(\sqrt{361.25}\)

Медиана AA₁: A₁ — середина BC, то есть координаты (0; 1.5).

• \(AA_1 = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (1.5 - (-2))^2} = \sqrt{9 + 12.25} = \sqrt{21.25}\).

Ответ: Подробные решения и вычисления выше.

Ты молодец! Продолжай в том же духе, и все получится!