Поток откликов на объявление за день зависит от того, попало ли оно в "горячую" подборку. С вероятностью р объявление горячее тогда число откликов распределено по Пуассону со средним а, иначе – по Пуассону со средним b. Категория объявления заранее неизвестна. Найти дисперсию количества откликов за день.

Решение:

Обозначим через X количество откликов за день.

Если объявление горячее (с вероятностью \( p \)), то \( X \) распределено по Пуассону со средним \( a \). В этом случае дисперсия равна \( \text{Var}(X|\text{горячее}) = a \).

Если объявление не горячее (с вероятностью \( 1-p \)), то \( X \) распределено по Пуассону со средним \( b \). В этом случае дисперсия равна \( \text{Var}(X|\text{не горячее}) = b \).

По формуле полной дисперсии:

\( \text{Var}(X) = E[\text{Var}(X|Y)] + \text{Var}[E(X|Y)] \), где \( Y \) — случайное событие (горячее/не горячее).

\( E[\text{Var}(X|Y)] = p \cdot a + (1-p) \cdot b \) (математическое ожидание условной дисперсии).

Математическое ожидание \( E(X) \) можно найти как:

\( E(X) = p \cdot E(X|\text{горячее}) + (1-p) \cdot E(X|\text{не горячее}) = p \cdot a + (1-p) \cdot b \).

Теперь найдём \( \text{Var}[E(X|Y)] \). Для этого нам нужно математическое ожидание \( E(X|Y) \) как случайной величины.

Пусть \( Z = E(X|Y) \). \( Z = a \) с вероятностью \( p \), и \( Z = b \) с вероятностью \( 1-p \).

\( E(Z) = E[E(X|Y)] = E(X) = pa + (1-p)b \).

\( E(Z^2) = p \cdot a^2 + (1-p) \cdot b^2 \).

\( \text{Var}(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = (pa^2 + (1-p)b^2) - (pa + (1-p)b)^2 \).

Теперь подставим значения: \( p = 0.6 \), \( a = 224.0 \), \( b = 21.0 \).

\( 1-p = 1 - 0.6 = 0.4 \).

\( E(X) = 0.6 \cdot 224.0 + 0.4 \cdot 21.0 = 134.4 + 8.4 = 142.8 \).

\( E[\text{Var}(X|Y)] = 0.6 \cdot 224.0 + 0.4 \cdot 21.0 = 134.4 + 8.4 = 142.8 \).

\( E(Z^2) = 0.6 \cdot (224.0)^2 + 0.4 \cdot (21.0)^2 \)

\( (224.0)^2 = 50176 \)

\( (21.0)^2 = 441 \)

\( E(Z^2) = 0.6 \cdot 50176 + 0.4 \cdot 441 = 30105.6 + 176.4 = 30282 \).

\( (E(Z))^2 = (142.8)^2 = 20391.84 \).

\( \text{Var}(Z) = 30282 - 20391.84 = 9890.16 \).

\( \text{Var}(X) = E[\text{Var}(X|Y)] + \text{Var}[E(X|Y)] = 142.8 + 9890.16 = 10032.96 \).

Ответ: 10032.96