Повторение: 5/9 + 4/9 * 3 1/6 * (9/19 + 1 5/38) = 25/46

Решение:

Запишем пример: \( \frac{5}{9} + \frac{4}{9} \cdot 3\frac{1}{6} \cdot \left( \frac{9}{19} + 1\frac{5}{38} \right) \)

1. Приведём смешанные числа к виду неправильных дробей: \( 3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{19}{6} \) и \( 1\frac{5}{38} = \frac{1 \cdot 38 + 5}{38} = \frac{43}{38} \).
2. Вычислим значение выражения в скобках: \( \frac{9}{19} + \frac{43}{38} \). Приведём к общему знаменателю 38: \( \frac{9 \cdot 2}{19 \cdot 2} + \frac{43}{38} = \frac{18}{38} + \frac{43}{38} = \frac{18 + 43}{38} = \frac{61}{38} \).
3. Теперь пример выглядит так: \( \frac{5}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{19}{6} \cdot \frac{61}{38} \).
4. Выполним умножение дробей: \( \frac{4}{9} \cdot \frac{19}{6} \cdot \frac{61}{38} = \frac{4 \cdot 19 \cdot 61}{9 \cdot 6 \cdot 38} \). Сократим дроби: \( 4 \) и \( 6 \) на 2; \( 19 \) и \( 38 \) на 19. Получим: \( \frac{2 \cdot 1 \cdot 61}{9 \cdot 3 \cdot 2} \). Сократим \( 2 \) и \( 2 \). Получим: \( \frac{61}{9 \cdot 3} = \frac{61}{27} \).
5. Теперь сложим дроби: \( \frac{5}{9} + \frac{61}{27} \). Приведём к общему знаменателю 27: \( \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{61}{27} = \frac{15}{27} + \frac{61}{27} = \frac{15 + 61}{27} = \frac{76}{27} \).
6. Проверим, можно ли сократить \( \frac{76}{27} \). Число 76 делится на 2, 4, 19, 38. Число 27 делится на 3, 9. Общих делителей нет.
7. Таким образом, \( \frac{76}{27} \) является результатом.

Ответ: \( \frac{76}{27} \).