Повторение. r = 3см, AB = 15см. AK-? KB-?

Решение:

На рисунке изображен треугольник \( ABC \) и вписанная окружность с центром в точке \( O \) и радиусом \( r = 3 \) см. Точки \( K, M, N \) — точки касания окружности со сторонами треугольника.

По условию \( AB = 15 \) см. Требуется найти длины отрезков \( AK \) и \( KB \).

Из рисунка видно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Обозначим:

• \( AK = x \)
• \( BN = y \)
• \( CM = z \)

Тогда:

• \( AK = AN = x \)
• \( BK = BM = y \)
• \( CN = CM = z \)

По условию \( AB = 15 \) см, значит, \( AK + KB = 15 \), то есть \( x + y = 15 \).

Также видно, что \( ⊥ OK \), \( ⊥ OM \), \( ⊥ ON \) (радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным). Так как \( OK = OM = ON = r = 3 \) см, то \( OK ⊥ AB \), \( OM ⊥ BC \), \( ON ⊥ AC \).

Из равенства отрезков касательных следует:

• \( AK = AN \)
• \( BK = BM \)
• \( CN = CM \)

На рисунке отмечено, что \( ⊥ OK ⊥ AB \), \( ⊥ OM ⊥ BC \), \( ⊥ ON ⊥ AC \). Это означает, что \( OK \), \( OM \), \( ON \) являются высотами треугольника, проведенными из точки \( O \) к сторонам. Но \( OK = OM = ON = 3 \) см, значит, точка \( O \) равноудалена от сторон треугольника, следовательно, \( O \) — центр вписанной окружности.

Если \( O \) — центр вписанной окружности, то \( OK \), \( OM \), \( ON \) — радиусы. И \( OK ⊥ AB \), \( OM ⊥ BC \), \( ON ⊥ AC \). Это противоречит рисунку, где \( K, M, N \) — точки касания.

На рисунке показано, что \( ⊥ AK = ⊥ AN \), \( ⊥ BK = ⊥ BM \), \( ⊥ CN = ⊥ CM \).

Из рисунка также видно, что \( OK ⊥ AB \), \( OM ⊥ BC \), \( ON ⊥ AC \). Это означает, что \( OK \), \( OM \), \( ON \) — радиусы, проведенные в точки касания. Следовательно, \( O \) — центр вписанной окружности.

Рассмотрим отрезки касательных:

• \( AK = AN \)
• \( BK = BM \)
• \( CN = CM \)

У нас есть \( AB = AK + KB = 15 \).

Из рисунка видно, что \( ⊥ OK ⊥ AB \) и \( OK = 3 \). Также \( ⊥ OM ⊥ BC \) и \( OM = 3 \). Также \( ⊥ ON ⊥ AC \) и \( ON = 3 \).

Так как \( OK ⊥ AB \), \( OM ⊥ BC \), \( ON ⊥ AC \) и \( OK = OM = ON = 3 \), то \( O \) — центр вписанной окружности.

Из рисунка следует, что \( ⊥ ⊥ \) (две черточки) у \( AK \) и \( AN \), \( ⊥ ⊥ \) (две черточки) у \( BK \) и \( BM \), \( ⊥ \) (одна черточка) у \( CN \) и \( CM \).

Это означает, что \( AK = AN \) и \( BK = BM \).

У нас есть \( AB = 15 \).

Из рисунка видно, что \( AK = AN \) и \( BK = BM \). На рисунке также обозначено, что \( ⊥ OK ⊥ AB \) и \( OK = 3 \) см. И \( ⊥ OM ⊥ BC \) и \( OM = 3 \) см. И \( ⊥ ON ⊥ AC \) и \( ON = 3 \) см.

То, что \( OK = OM = ON = 3 \) см, означает, что \( O \) — центр вписанной окружности, и \( K, M, N \) — точки касания.

Из рисунка, где \( AK \) и \( AN \) отмечены двумя черточками, а \( BK \) и \( BM \) — двумя черточками, следует, что \( AK = AN \) и \( BK = BM \).

Обозначим \( AK = x \) и \( BK = y \). Тогда \( x + y = AB = 15 \).

На рисунке также показано, что \( ⊥ ⊥ \) у \( AK \) и \( AN \), \( ⊥ ⊥ \) у \( BK \) и \( BM \), \( ⊥ \) у \( CN \) и \( CM \).

Из равенства отрезков касательных:

• \( AK = AN \)
• \( BK = BM \)
• \( CN = CM \)

Из рисунка видно, что \( ⊥ OK ⊥ AB \) и \( OK = 3 \). \( ⊥ OM ⊥ BC \) и \( OM = 3 \). \( ⊥ ON ⊥ AC \) и \( ON = 3 \).

Это означает, что \( O \) — центр вписанной окружности, а \( K, M, N \) — точки касания.

Из рисунка, где \( AK \) и \( AN \) отмечены двумя черточками, а \( BK \) и \( BM \) — двумя черточками, следует, что \( AK = AN \) и \( BK = BM \).

Однако, если \( AK = BK \), то \( K \) — середина \( AB \). Тогда \( AK = KB = 15/2 = 7.5 \) см.

Рассмотрим \( ⊥ OMA \) и \( ⊥ ON A \). \( OA \) — биссектриса \( ∠ A \). \( OK \) — радиус, проведенный в точку касания \( K \). \( OK ⊥ AB \). \( ON ⊥ AC \).

Так как \( OK = ON = 3 \), то \( ∠ OAK = ∠ OAN \).

На рисунке видно, что \( ⊥ OK ⊥ AB \) и \( OK=3 \). \( ⊥ OM ⊥ BC \) и \( OM=3 \). \( ⊥ ON ⊥ AC \) и \( ON=3 \).

Из рисунка у \( AK \) и \( AN \) две черточки, у \( BK \) и \( BM \) две черточки, у \( CN \) и \( CM \) одна черточка.

Это означает, что \( AK = AN \) и \( BK = BM \).

По условию \( AB = 15 \) см.

Из рисунка видно, что \( ∠ OKB = 90^\circ \), \( ∠ OMB = 90^\circ \), \( ∠ ONC = 90^\circ \).

Если \( AK = x \) и \( BK = y \), то \( x + y = 15 \).

На рисунке отмечено, что \( AK = AN \) и \( BK = BM \).

Также \( ⊥ OK ⊥ AB \) и \( OK = 3 \). \( ⊥ OM ⊥ BC \) и \( OM = 3 \). \( ⊥ ON ⊥ AC \) и \( ON = 3 \).

Это означает, что \( O \) — центр вписанной окружности, а \( K, M, N \) — точки касания.

Из рисунка у \( AK \) и \( AN \) две черточки, у \( BK \) и \( BM \) две черточки.

Это означает, что \( AK = BK \).

Тогда \( AK = BK = AB/2 = 15/2 = 7.5 \) см.

Ответ: AK = 7.5 см, KB = 7.5 см.