Повторить темы: три признака равенства треугольников, медиана, биссектриса и высота треугольника, равнобедренный треугольник Выполнить задания по вариантам ( как сидите за партой): Вариант 1 №1 В равнобедренном треугольнике KLM с основанием КМ проведена высота LN, KLM = 100°, KN = 7см. Найдите КМ, KLN, KNL. №2 Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Найдите ВАС, если ABC = 60°, MCA = 30°. №3 На рисунке АВ = ВС, ОМ биссектриса треугольника AOB, MOC = 135°. Докажите, что ПАВО = OBC. B M A C Вариант 2 №1 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ABD, BDC и АС, если DBC = 40°, AD = 13см. №2 Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Найдите ВАС, если ABC = 30°, MCA = 60°. №3 На рисунке АВ = ВС и АО = ОС, ОК биссектриса треугольника ВОС. Найдите ПАОК. B K A C

Вариант 1

№1 В равнобедренном треугольнике KLM с основанием КМ проведена высота LN, ∠KLM = 100°, KN = 7см. Найдите КМ, ∠KLN, ∠KNL.

Решение:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник KLM. ∠KLM = 100°, значит, углы при основании равны: ∠LKM = ∠KML = (180° - 100°)/2 = 40°.
2. LN - высота, следовательно, треугольник KNL - прямоугольный. KN = 7 см.
3. ∠KNL = 90° - ∠LKM = 90° - 40° = 50°.
4. Так как LN - высота в равнобедренном треугольнике, то она также является медианой. Значит, KN = NM. КМ = KN + NM = 7 + 7 = 14 см.
5. ∠KLN = ∠KLM/2 = 100°/2 = 50°.

Ответ: КМ = 14 см, ∠KLN = 50°, ∠KNL = 50°.

№2 Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Найдите ∠ВАС, если ∠ABC = 60°, ∠MCA = 30°.

Решение:

1. Так как АМ = ВМ, то треугольник АВМ - равнобедренный. Значит, ∠ВAM = ∠ABM = 60°.
2. ∠ВАС = ∠ВAM + ∠МАС.
3. Сумма углов треугольника АВС равна 180°. ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
4. ∠BCA = ∠MCA = 30°.
5. ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠BCA = 180° - 60° - 30° = 90°.

Ответ: ∠ВАС = 90°.

№3 На рисунке АВ = ВС, ОМ – биссектриса треугольника АОВ, ∠MOC = 135°. Докажите, что ∠АВО = ∠OВС.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник АВС. Так как АВ = ВС, то треугольник АВС - равнобедренный. Значит, ∠ВАС = ∠ВСА.
2. ∠AOB + ∠BOC = 360° - ∠MOC = 360° - 135° = 225°.
3. Так как ОМ – биссектриса треугольника АОВ, то ∠AOM = ∠MOB.
4. По условию нужно доказать, что ∠АВО = ∠OВС.
5. Недостаточно данных для доказательства, нужно больше информации о точках O и M.

Ответ: Недостаточно данных для доказательства.

Вариант 2

№1 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ∠ABD, ∠BDC и АС, если ∠DBC = 40°, AD = 13см.

Решение:

1. Так как АВС - равнобедренный треугольник с основанием АС и BD - медиана, то BD является также высотой и биссектрисой.
2. ∠ABD = ∠DBC = 40°.
3. ∠BDC = 90°, так как BD - высота.
4. Так как BD - медиана, то AD = DC. Значит, АС = AD + DC = 13 + 13 = 26 см.

Ответ: ∠ABD = 40°, ∠BDC = 90°, АС = 26 см.

№2 Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Найдите ∠ВАС, если ∠ABC = 30°, ∠MCA = 60°.

Решение:

1. Так как АМ = ВМ, то треугольник АВМ - равнобедренный. Значит, ∠ВAM = ∠ABM = 30°.
2. ∠ВАС = ∠ВAM + ∠МАС.
3. Сумма углов треугольника АВС равна 180°. ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
4. ∠BCA = ∠MCA = 60°.
5. ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠BCA = 180° - 30° - 60° = 90°.

Ответ: ∠ВАС = 90°.

№3 На рисунке АВ = ВС и АО = ОС, ОК – биссектриса треугольника ВОС. Найдите ∠АОК.

Решение:

1. Так как АВ = ВС и АО = ОС, то треугольник АВС - равнобедренный, и треугольник АОС - равнобедренный.
2. ОК - биссектриса треугольника ВОС, значит, ∠ВОК = ∠КОС.
3. Нужно найти угол ∠АОК.
4. Недостаточно данных для решения задачи.

Ответ: Недостаточно данных для решения.