Пр_гулят(?)ся туман(н/нн)ым утром

Правильно: прогуляться, туманным.

Слово «прогуляться» пишется с буквой «о» в приставке и мягким знаком перед -ся. В прилагательном «туманный» пишется НН, но в форме творительного падежа единственного числа — «туманным».

Ответ: Прогуляться туманным утром.